$\begin{aligned} h(t) & =\operatorname{rect}\left(...

Frage

$\begin{aligned} h(t) & =\operatorname{rect}\left(\frac{t}{2}\right) * \operatorname{rect}\left(\frac{t}{6}-1\right) \\ & \vdots \\ H(f) & =2 \operatorname{si}(2 \pi f) \cdot 6 \operatorname{si}(6 \pi f) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 12 \pi f}\end{aligned}$

Wie komme ich dazu?

Gedanke

Fourier transform analysis

I’m piecing together the Fourier transform of $\operatorname{rect}(t/2) * \operatorname{rect}((t/6) -1)$ to reveal the convolution product. Using $H(f) = 2\operatorname{si}(2\pi f) \cdot 6 \operatorname{si}(6\pi f) e^{-j 12 \pi f}$ , I’m verifying the convolution theorem.

Aligning transform pairs

I'm ensuring consistency in defining the rect function and its transform pair, particularly with the si or sinc function, to accurately represent convolution and Fourier transformations.

Considering time shift property

I’m examining the time shift property of the rect function and how it affects the convolution and Fourier transform, ensuring consistency with standard transform definitions and addressing any 2π factor.

Confirming Fourier transform

I’m verifying that the Fourier transform of $\operatorname{rect}(t/2)$ is indeed $2 \operatorname{si}(2 \pi f)$ , using the standard integral form of the Fourier transform.

Confirming the outcome

By examining the integral of $\int_{-1}^1 e^{-j2\pi f t} dt$ , it appears that $\operatorname{rect}(t/2)$ indeed transforms to $2 \operatorname{si}(2 \pi f)$ .

Clarifying notations

I’m working through the notation confusion between "si(x)" and "sinc," suggesting "si(x)" might indeed represent $\frac{\sin x}{x}$ . This aligns with the Fourier transform of $\operatorname{rect}(t/2)$ .

Mapping out shifts and transforms

I’m clarifying that "si(x)" means $\frac{\sin x}{x}$ . Next, I’m examining how shifts impact the Fourier transform of $\operatorname{rect}((t)/6 - 1)$ .

Mapping the shift

I’m figuring out the Fourier transform of $\operatorname{rect}((t)/6 - 1)$ . The shift factor is $e^{-j12 \pi f}$ , with an amplitude of 6 and sinc component $6 \operatorname{si}(6 \pi f)$ .

Confirming the shift factor

I'm ensuring the shift factor $e^{-j 12\pi f}$ aligns with the integral definition $\int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-j 2\pi f t} dt$ .

Pulling together

I’m finalizing the convolution of rectangular pulses in the frequency domain, confirming the product of their transforms and the shift factor, leading to the expression $H(f) = 12 \operatorname{si}(2 \pi f) \operatorname{si}(6 \pi f) e^{-j 12 \pi f}$ .

Reasoned about Fourier transform steps for 34 seconds

Antwort

Antwort auf Deutsch

Um von

h(t) \;=\;\mathrm{rect}\Bigl(\tfrac{t}{2}\Bigr)\;*\;\mathrm{rect}\Bigl(\tfrac{t}{6} \;-\; 1\Bigr)

H(f) \;=\; 2\,\mathrm{si}\bigl(2\pi f\bigr)\;\cdot\;6\,\mathrm{si}\bigl(6\pi f\bigr)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,12\pi f}

zu gelangen, geht man im Wesentlichen in vier Schritten vor:

1. Faltungs- und Transformations-Eigenschaft

Die wichtigste Eigenschaft ist, dass Faltung im Zeitbereich zur Multiplikation im Frequenzbereich wird.
Das heißt:

x(t)*y(t) \;\;\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;\; X(f)\,Y(f),

wobei $X(f)$ und $Y(f)$ die Fourier-Transformierten von $x(t)$ bzw. $y(t)$ sind.

In unserem Fall ist $x(t)=\mathrm{rect}(t/2)$ und $y(t)=\mathrm{rect}\bigl(\tfrac{t}{6}-1\bigr)$ .
Somit gilt im Frequenzbereich:

H(f) \;=\; X(f)\cdot Y(f).

2. Fourier-Transformierte von $\mathrm{rect}\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)$

Die Funktion $\mathrm{rect}\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)$ ist im Intervall $-1 \le t \le 1$ gleich 1 und sonst 0.
Die (konventionelle) Definition der Fourier-Transformation lautet meist

\mathcal{F}\{x(t)\} \;=\; \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,2\pi\,f\,t}\,\mathrm{d}t.

Berechnet man also

X(f) \;=\; \int_{-1}^{1} 1 \,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,2\pi\,f\,t}\,\mathrm{d}t,

erhält man durch direktes Integrieren:

X(f) \;=\; \int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,2\pi\,f\,t}\,\mathrm{d}t \;=\; \left[\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,2\pi\,f\,t}}{-\mathrm{j}\,2\pi\,f}\right]_{t=-1}^{t=1} \;=\; \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,2\pi\,f}-\mathrm{e}^{\mathrm{j}\,2\pi\,f}}{-\mathrm{j}\,2\pi\,f}.

Das ist eine klassische Sinus-durch-Argument-Form,

X(f) \;=\; \frac{2\,\sin\bigl(2\pi f\bigr)}{2\pi f} \;=\; \frac{\sin\bigl(2\pi f\bigr)}{\pi f}.

Wenn man die Funktion
$\mathrm{si}(x) = \tfrac{\sin x}{x}$
(definiert als cardinal sine, nicht zu verwechseln mit der Si-Funktion, die das Integral $\int_0^x \frac{\sin t}{t}\,dt$ ist)
verwendet, kann man dies kompakt schreiben als

X(f) \;=\; 2 \,\mathrm{si}\bigl(2\pi f\bigr).

3. Fourier-Transformierte von $\mathrm{rect}\bigl(\tfrac{t}{6}-1\bigr)$

Die Funktion $\mathrm{rect}\bigl(\tfrac{t}{6}-1\bigr)$ kann man umschreiben als $\mathrm{rect}\bigl(\tfrac{t-6}{6}\bigr)$ . Sie stellt also eine Rechteckfunktion der Breite 6 dar, die von $t=3$ bis $t=9$ gleich 1 ist (Mittelpunkt bei $t=6$ , „Radius“ 3).

Skalierung: $\mathrm{rect}\bigl(\tfrac{t}{6}\bigr)$ hätte die Breite 6 (von $-3$ bis +3). Deren Fourier-Transformierte wäre (analog zum vorherigen Schritt)
$\mathcal{F}\bigl\{\mathrm{rect}(\tfrac{t}{6})\bigr\} \;=\; 6\,\mathrm{si}(6\pi f).$
Zeitverschiebung: Da unsere Funktion zusätzlich um $t_0=6$ nach rechts verschoben ist ( $\mathrm{rect}\bigl(\tfrac{t-6}{6}\bigr)$ ), kommt im Frequenzbereich der Faktor $\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,2\pi\,f\,6}$ hinzu.

Zusammengenommen heißt das:

Y(f) \;=\; 6\,\mathrm{si}(6\pi f)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,2\pi\,f\,6} \;=\; 6\,\mathrm{si}(6\pi f)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,12\pi\,f}.

4. Produkt im Frequenzbereich

Mit Schritt 1 (Faltungs- zu Multiplikationseigenschaft) erhalten wir nun:

H(f) \;=\; X(f)\,\cdot\,Y(f) \;=\; \bigl[2\,\mathrm{si}(2\pi f)\bigr]\;\cdot\;\bigl[6\,\mathrm{si}(6\pi f)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,12\pi f}\bigr].

Somit folgt

H(f) \;=\; 2\,\mathrm{si}(2\pi f)\;\times\;6\,\mathrm{si}(6\pi f)\;\times\;\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,12\pi f}.

Man kann das Produkt $2\times6$ zu 12 zusammenfassen oder es bei Bedarf in der oben stehenden Form belassen.

Zusammenfassung

Fourier-Transformierte beider Rechteckfunktionen einzeln bestimmen (unter Berücksichtigung von Zeitverschiebungen und Skalierungen).
Faltung im Zeitbereich entspricht Multiplikation im Frequenzbereich.
Beide Transformierte multiplizieren und den Phasenfaktor $\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,2\pi\,f\,t_0}$ für die Verschiebung nicht vergessen.

Ergebnis:

H(f) \;=\; 2\,\mathrm{si}\bigl(2\pi f\bigr) \;\cdot\; 6\,\mathrm{si}\bigl(6\pi f\bigr) \;\cdot\; \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\,12\pi f}.