g) $ s(t)=\operatorname{rect}\left(t-\frac{1}{2}\r...

Im Folgenden sei die Rechteckfunktion definiert als

$$\operatorname{rect}\bigl(t-\tfrac{1}{2}\bigr) \;=\; \begin{cases} 1, & 0 < t < 1,\\ \tfrac12 \text{ (je nach Konvention)}, & t=0 \text{ oder } t=1,\\ 0, & \text{sonst}. \end{cases}$$

Damit ist

$$s(t) \;=\; \operatorname{rect}\!\bigl(t-\tfrac{1}{2}\bigr)$$

im Intervall $0 \le t \le 1$ gleich 1 und außerhalb davon 0 (Randwerte ggf. gemäß Konvention).

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1) Laplace-Transformierte

Die (einseitige) Laplace-Transformierte von $s(t)$ ist

$$S(s) \;=\; \int_{0}^{\infty} s(t)\,e^{-s t}\,\mathrm{d}t \;=\; \int_{0}^{1} e^{-s t}\,\mathrm{d}t \;=\; \left[\, -\frac{1}{s}\,e^{-s t}\right]_{0}^{1} \;=\;\frac{1 - e^{-s}}{s}.$$

Konvergenzbereich (Region of Convergence)

Da $s(t)$ nur auf dem endlichen Intervall $[0,1]$ ungleich 0 ist, konvergiert obiges Integral für alle komplexen $s$. Man kann daher sagen, dass die Laplace-Transformierte überall in der komplexen Ebene definiert ist (bzw. der Konvergenzbereich ist $\text{Re}(s)>-\infty$).

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2) Pol-Nullstellen-Diagramm

Betrachtet man $S(s) = \frac{1 - e^{-s}}{s}$ zunächst „formal“, so scheint es bei $s=0$ eine Polstelle zu geben (wegen des Faktors $1/s$). Allerdings heben sich Zähler und Nenner in der Nähe von $s=0$ gerade auf, wie man am Limes

$$\lim_{s\to 0} \frac{1 - e^{-s}}{s} \;=\; \lim_{s\to 0} \frac{s - \tfrac{s^2}{2} + \dots}{s} \;=\; 1$$

erkennt. Damit ist $s=0$ kein echter Pol, sondern nur eine entfernbare Singularität, und es verbleiben keine weiteren Pol- oder Nullstellen im endlichen Bereich der $s$-Ebene.

Fazit:

• Keine Polstellen im endlichen Bereich.
• Keine Nullstellen im endlichen Bereich.
• $s=0$ ist eine entfernbare Singularität.

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3) Code zum Plotten des Pol-Nullstellen-Diagramms

Unten sehen Sie ein Beispiel in Python (z.B. in einem Jupyter-Notebook oder mit „Code Interpreter“) dafür, wie man symbolisch die Laplace-Transformierte berechnet und anschließend (rein illustrativ) ein Pol-Nullstellen-Diagramm zeichnet. Da hier jedoch keine Pol- und Nullstellen vorliegen, wird das Diagramm letztlich nur ein leeres Koordinatensystem sein, in dem wir ggf. zur Demonstration die entfernbare Singularität bei $s=0$ markieren.

Hinweis:
Wenn Sie dies in einer Umgebung wie ChatGPT mit Code-Interpreter (bzw. „Python & Matplotlib“) ausführen, wird das Diagramm direkt gerendert.

python
import sympy
import matplotlib.pyplot as plt

# Symbolische Variable
t = sympy.Symbol('t', real=True, nonnegative=True)
s = sympy.Symbol('s', complex=True)

# Rechteckfunktion rect(t - 1/2) = 1 auf [0,1], sonst 0
# In vielen Fällen einfacher darstellbar als u(t) - u(t-1)
rect = sympy.Heaviside(t) - sympy.Heaviside(t - 1)

# Laplace-Transformierte berechnen
S_s = sympy.laplace_transform(rect, t, s)
print("Laplace-Transformierte S(s) =", S_s.simplify())

# Wir können die Polstellen aus dem Ausdruck bestimmen:
poles = sympy.apart(S_s).as_ordered_terms()  # das ist nur ein möglicher Weg
# Besser: sympy.poles(S_s) – in neueren Sympy-Versionen
print("Hinweis: Polstellen nach 'sympy.poles' oder manuell analysiert:", "Keine echten Polstellen")

# Plot (leeres) Pol-Nullstellen-Diagramm
fig, ax = plt.subplots()

# Da es keine echten Pole/Nullstellen gibt,
# zeichnen wir nur eine Markierung bei s=0 (entfernbare Singularität).
ax.scatter([0], [0], marker='o', color='black', label='s=0 (entfernbare Singularität)')

# Achsenhalbierung etc.
ax.axhline(0, linewidth=0.8, color='gray')
ax.axvline(0, linewidth=0.8, color='gray')
ax.set_xlabel('Re(s)')
ax.set_ylabel('Im(s)')
ax.set_title('Pol- / Nullstellen-Diagramm von S(s) = (1 - e^{-s}) / s')
ax.legend()
plt.show()

Erläuterung:

1. Wir definieren die Rechteckfunktion als $\text{Heaviside}(t) - \text{Heaviside}(t-1)$. Das ist identisch mit 1 für $0 < t < 1$ und 0 für $t < 0$ oder $t>1$.
2. sympy.laplace_transform berechnet das Symbolische Integral $\int_{0}^{\infty}(\dots)e^{-s t}\mathrm{d}t$.
3. Wir stellen fest, dass keine echten Pole/Nullstellen übrig bleiben.
4. Zur Veranschaulichung wird im Diagramm lediglich $s=0$ markiert (als entfernbare Singularität).

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Zusammenfassung

• Laplace-Transformierte: $$S(s) \;=\; \frac{1 - e^{-s}}{s}.$$
• Konvergenzbereich: $$\text{ROC} = \{\, s \in \mathbb{C} \mid \text{Re}(s) > -\infty \} \quad(\text{d.h. überall}).$$
• Pol-/Nullstellen:
  • Keine echten Pole und keine Nullstellen im endlichen $s$-Bereich.
  • $s=0$ ist eine entfernbare Singularität (Limit $=1$).

Damit sind alle verlangten Informationen (Transformierte, Konvergenzbereich, Pol- und Nullstellendiagramm) zusammengefasst.

Der Fehler

AttributeError: 'tuple' object has no attribute 'simplify'

bedeutet, dass sympy.laplace_transform(...) an dieser Stelle ein Tupel zurückliefert und nicht nur einen einzigen Ausdruck. In neueren Sympy-Versionen erhält man häufig (Ausdruck, Bedingung), d. h. neben der eigentlichen Transformierten auch einen Ausdruck, der den Konvergenzbereich oder weitere Bedingungen beschreibt.

Um das Problem zu beheben, können Sie entweder:

1. Nur den ersten Eintrag des Tupels extrahieren (der eigentliche Laplace-Ausdruck), oder
2. Die Übergabeoption noconds=True verwenden, damit ausschließlich der Laplace-Ausdruck zurückgegeben wird.

Option A: Das Tupel entpacken

python
import sympy
import matplotlib.pyplot as plt

t = sympy.Symbol('t', real=True, nonnegative=True)
s = sympy.Symbol('s', complex=True)

# Rechteckfunktion rect(t - 1) = Heaviside(t) - Heaviside(t-1)
rect = sympy.Heaviside(t) - sympy.Heaviside(t - 1)

# laplace_transform gibt bei neueren Versionen standardmäßig (Ausdruck, Bedingungen) zurück
S_s, conditions = sympy.laplace_transform(rect, t, s, conds=True)

# S_s ist jetzt der eigentliche Ausdruck, conditions enthält Zusatzinfos (Konvergenzbereiche etc.)
print("Laplace-Transformierte S(s) =", sympy.simplify(S_s))
print("Bedingungen:", conditions)

# Plot (Pol-Nullstellen-Diagramm), hier aber kein echter Pol
fig, ax = plt.subplots()
ax.scatter([0], [0], marker='o', label='s=0 (entfernbare Singularität)')
ax.axhline(0, color='gray')
ax.axvline(0, color='gray')
ax.set_xlabel('Re(s)')
ax.set_ylabel('Im(s)')
ax.set_title('Pol-/Nullstellen-Diagramm')
ax.legend()
plt.show()

Option B: noconds=True verwenden

Wenn Sie die Konditionen/Region-of-Convergence-Ausgabe von sympy.laplace_transform nicht benötigen, können Sie mit dem Schlüsselwort noconds=True direkt nur den Laplace-Ausdruck erhalten:

python
import sympy
import matplotlib.pyplot as plt

t = sympy.Symbol('t', real=True, nonnegative=True)
s = sympy.Symbol('s', complex=True)

rect = sympy.Heaviside(t) - sympy.Heaviside(t - 1)

# Hier nur das reine Symbol zurückgeben
S_s = sympy.laplace_transform(rect, t, s, noconds=True)
S_s_simpl = sympy.simplify(S_s)
print("Laplace-Transformierte S(s) =", S_s_simpl)

# Plot (Pol-Nullstellen-Diagramm)
fig, ax = plt.subplots()
ax.scatter([0], [0], marker='o', label='s=0 (entfernbare Singularität)')
ax.axhline(0, color='gray')
ax.axvline(0, color='gray')
ax.set_xlabel('Re(s)')
ax.set_ylabel('Im(s)')
ax.set_title('Pol-/Nullstellen-Diagramm')
ax.legend()
plt.show()

Auf diese Weise werden Sie keine AttributeError-Meldung mehr erhalten, da S_s bzw. S_s_simpl nun ein Symbol- oder Funktionsausdruck ist, an dem man simplify() ausführen kann – und kein Tupel mehr.

Im Folgenden wird anhand des Ausdrucks

$$S(p) \;=\;\frac{1-e^{-p}}{p}$$

das Pol-Nullstellen-Diagramm (Pole-Zero-Plot) gezeichnet. Gemäß der Musterlösung:

• Pol bei $p=0$
• Nullstellen bei $p = j\,2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$.
  Allerdings ist für $k=0$ der „Pol“ und die „Nullstelle“ an derselben Stelle ($p=0$) – sie heben sich auf (entfernbare Singularität).
• Konvergenzbereich: da $s(t)$ zeitbegrenzt ist, gilt die gesamte $p$-Ebene (keine Einschränkung in $\mathrm{Re}(p)$).

Damit bleiben effektiv nur die Nullstellen auf der imaginären Achse bei $p = j2\pi k$ mit $k \neq 0$.

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Python-Code

Untenstehender Code zeichnet die Pole und Nullstellen in der $p$-Ebene.
Da es unendlich viele Nullstellen gibt (alle ganzzahligen Vielfache von $j\,2\pi$), schränken wir die Darstellung auf einen endlichen Bereich $|k|\le 3$ ein, damit das Diagramm nicht „unendlich“ wird.

python
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Für das Diagramm: wir stellen nur k von -3 bis 3 dar
k_values = range(-3, 4)

zeros_real = []
zeros_imag = []

for k in k_values:
    if k != 0:  # Nicht k=0, weil p=0 hebt sich auf
        zeros_real.append(0)
        zeros_imag.append(2*np.pi*k)

# Plot vorbereiten
fig, ax = plt.subplots()

# 1) Nullstellen markieren (Kreuze 'x')
ax.scatter(zeros_real, zeros_imag, marker='x', label='Nullstellen: p = j 2πk, k≠0')

# 2) Markierung der "aufgehobenen" Pole/Nullstelle an p=0
#    Man kann zur Verdeutlichung einen kleinen Kreis zeichnen.
ax.scatter([0], [0], marker='o', facecolors='none', edgecolors='r', label='p=0 (aufgehoben)')

# Achsen
ax.axhline(0, color='gray', linewidth=0.8)
ax.axvline(0, color='gray', linewidth=0.8)
ax.set_xlabel('Re(p)')
ax.set_ylabel('Im(p)')
ax.set_title('Pol-Nullstellen-Diagramm zu S(p) = (1 - e^{-p}) / p')

# Grenzen für bessere Sicht
ax.set_xlim(-1, 1)  # Pol-Nullstellen liegen nur auf der imaginären Achse
ax.set_ylim(-7*np.pi, 7*np.pi)  # Wir haben k von -3..3 => +/- 6π als grobe Begrenzung

ax.legend()
plt.show()

Erläuterungen

1. Nullstellen:

   • Aus $1 - e^{-p} = 0$ folgt $e^{-p} = 1$.
   • Damit $\mathrm{e}^{-p} = 1$ gilt, muss $-p = j\,2\pi k$, also $p = j\,2\pi k$ für $k \in \mathbb{Z}$.
   • Für $k=0$ entspricht dies $p=0$ – diese Nullstelle „kollidiert“ mit dem Pol von $\tfrac{1}{p}$. Das hebt sich gegeneinander auf.

2. Pol:

   • Die Funktion $\tfrac{1}{p}$ legt nahe, dass $p=0$ ein Pol wäre. Durch den Faktor $\bigl(1-e^{-p}\bigr)$ mit ebenfalls einer Nullstelle bei $p=0$ wird er jedoch „entfernt“.

3. Konvergenzbereich:

   • $s(t)$ ist nur im endlichen Zeitintervall $[0,1]$ ungleich null.
   • Daher konvergiert die Laplace-Transformierte für alle $p$.

Das resultierende Diagramm zeigt also lauter Nullstellen entlang der reinen Im-Achse bei $p=j\,2\pi k$ ($k \ne 0$). Die nominelle Pol-/Nullstelle bei $p=0$ ist entfernt (keine echte Polstelle mehr), daher markieren wir sie ggf. nur als „aufgehoben“.