Используют теорию, которую я тебе прислал реши зад...
Erstellt am: 3. März 2025
Erstellt am: 3. März 2025
Ниже приведены указания (фактически — решения) к каждому из пяти заданий.
1. Существуют ли группы без нетривиальных подгрупп?
Да. Классический пример — группа простого (простого числового) порядка. Если имеет порядок , где — простое число, то единственными её подгруппами будут сама группа и тривиальная подгруппа . Других (нетривиальных) подгрупп в группе простого порядка не бывает.
2. Подгруппа индекса 2 всегда нормальна.
Пусть и . Это означает, что в фактор-множестве ровно два левых смежных класса: сам и «остальное» .
Чтобы показать нормальность, достаточно проверить, что левый и правый смежные классы по совпадают для любого элемента . Но так как всего два класса, то если , тогда . Аналогично для . В итоге неизбежно выходит, что
для всех . Отсюда — нормальная подгруппа.
(Альтернативная «короткая» версия доказательства: индекс 2 эквивалентен тому, что фактор-группа имеет порядок 2, а любая группа порядка 2 коммутативна; значит, смежные классы совпадают и .)
3. Количество решений уравнения в циклической группе .
Обозначим циклическую группу порядка через . Все её элементы имеют вид для . Условие
эквивалентно тому, что делит . Пусть . Тогда равенство эквивалентно тому, что .
Количество различных значений по модулю , удовлетворя этому условию, — как раз . Иначе говоря, уравнение в имеет ровно решений.
4. Все подгруппы группы .
Группа перестановок порядка 6 имеет следующие подгруппы:
Итого получается ровно 6 подгрупп.
5. «В конечной группе все подгруппы нормальны. Верно ли, что группа коммутативна?»
Необязательно. Существуют некоммутативные (неабелевы) конечные группы, у которых действительно каждая подгруппа нормальна. Классический пример — кватернионная группа порядка 8. Все её подгруппы нормальны, но сама не является абелевой.
Таким образом, утверждение «если в конечной группе все подгруппы нормальны, то группа коммутативна» — ложно. Ответ: «Нет, неверно».