привести к каноническому виду уравнения(если оно п...

Ниже приведён подробный разбор того, как можно вручную (а затем и в Maple) привести дифференциальное уравнение

$$3\,u_{xx} \;+\; 2\,u_{xy}\;-\;u_{yy}\;+\;2\,u_{x}\;+\;3\,u_{y}\;=\;0$$

к каноническому виду.

---

1. Классификация уравнения

Общее второе‐порядковое дифференциальное уравнение в двух переменных $x,\,y$ обычно записывают в виде

$$A\,u_{xx} \;+\;2\,B\,u_{xy}\;+\;C\,u_{yy}\;+\;\dots=0,$$

где $A,B,C$ – коэффициенты при втором порядке производных (так называемая «главная часть» уравнения).

В нашем случае главная часть:

$$A=3,\quad 2\,B=2 \;\Longrightarrow\; B=1,\quad C=-1.$$

Для классификации используют дискриминант

$$\Delta \;=\; B^2 - A\,C.$$

Подставим $A=3,\;B=1,\;C=-1$:

$$\Delta \;=\;1^2 - 3\cdot(-1)\;=\;1+3\;=\;4>0.$$

Поскольку $\Delta>0$, уравнение гиперболическое.

---

2. Поиск характеристик и переход к новым переменным

2.1. Характеристические направления

Для гиперболического уравнения

$$A\,u_{xx} \;+\;2\,B\,u_{xy}\;+\;C\,u_{yy}=0$$

характеристиками являются линии в плоскости $(x,y)$, на которых «выключается» главная часть. Их задают из условия:

$$A\,(dy)^2 \;-\;2\,B\,dx\,dy \;+\;C\,(dx)^2 \;=\;0$$

(знак «$-$» перед $2B$ принято по большинству учебников, где формула выписывается как $A(dy)^2 -2B dx\,dy + C(dx)^2=0$. В разных источниках возможны другие соглашения, но суть от этого не меняется).

У нас:

$$3\,(dy)^2 -2\cdot 1\cdot dx\,dy -1\,(dx)^2=0$$

или

$$3(dy)^2 \;-\;2\,dx\,dy \;-\;(dx)^2=0.$$

Разделим на $(dx)^2$ (считаем $dx\neq 0$) и введём наклон характеристики $p=\dfrac{dy}{dx}$:

$$3\,p^2 \;-\;2\,p \;-\;1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$3p^2 -2p -1=0 \quad\Longrightarrow\quad p=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{6}=\frac{2\pm 4}{6}.$$

Таким образом, получаем два корня:

$$p_1=1, \quad p_2=-\tfrac{1}{3}.$$

То есть характеристики имеют наклоны $dy/dx=1$ и $dy/dx=-1/3$.

2.2. Выбор новых переменных $\xi,\eta$

Для гиперболического уравнения обычно вводят новые независимые переменные, каждая из которых постоянна на одной из семейств характеристик.

1. При наклоне $p_1=1$ удобно взять $$\xi = y - x \quad (\text{линии } y - x = \text{const}).$$
2. При наклоне $p_2=-\tfrac{1}{3}$ можно взять $$\eta = 3y + x \quad (\text{линии } 3y + x = \text{const}).$$

Таким образом, переходим к системе:

$$\begin{cases} \xi = y - x,\\ \eta = 3y + x. \end{cases}$$

---

3. Переход к производным по новым переменным

Чтобы выразить $u_{xx}$, $u_{xy}$, $u_{yy}$ через производные по $\xi$ и $\eta$, выписываем операторы $\partial/\partial x$ и $\partial/\partial y$ через $\partial/\partial \xi$ и $\partial/\partial \eta$.

1. Сначала найдём частные производные $\xi_x,\,\eta_x$ при $y=\text{const}$ и $\xi_y,\,\eta_y$ при $x=\text{const}$:

   $$\xi = y - x \quad\Longrightarrow\quad \xi_x = -1,\quad \xi_y=1.$$ $$\eta = 3y + x \quad\Longrightarrow\quad \eta_x = 1,\quad \eta_y=3.$$

2. Тогда операторы производных:

   $$\frac{\partial}{\partial x} \;=\; \xi_x\,\frac{\partial}{\partial \xi} \;+\;\eta_x\,\frac{\partial}{\partial \eta} \;=\; -\frac{\partial}{\partial \xi} \;+\;\frac{\partial}{\partial \eta},$$ $$\frac{\partial}{\partial y} \;=\; \xi_y\,\frac{\partial}{\partial \xi} \;+\;\eta_y\,\frac{\partial}{\partial \eta} \;=\; \frac{\partial}{\partial \xi} \;+\;3\,\frac{\partial}{\partial \eta}.$$

3. Далее находим вторые производные (главная часть). Итоговые формулы (без промежуточных «длинных» шагов) таковы:

   $$u_{xx} \;=\; u_{\xi\xi} \;-\;2\,u_{\xi\eta} \;+\;u_{\eta\eta},$$ $$u_{xy} \;=\; -\,u_{\xi\xi} \;-\;2\,u_{\xi\eta} \;+\;3\,u_{\eta\eta},$$ $$u_{yy} \;=\; u_{\xi\xi} \;+\;6\,u_{\xi\eta} \;+\;9\,u_{\eta\eta}.$$

4. Также нужны первые производные:

   $$u_x = -u_\xi + u_\eta,\quad u_y = \;u_\xi + 3\,u_\eta.$$

---

4. Подстановка в исходное уравнение

Уравнение:

$$3\,u_{xx}\;+\;2\,u_{xy}\;-\;u_{yy}\;+\;2\,u_x\;+\;3\,u_y=0$$

распишем по частям.

1. «Вторая производная» часть:

   $$3\,u_{xx} = 3\bigl(u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}\bigr) =3\,u_{\xi\xi}-6\,u_{\xi\eta}+3\,u_{\eta\eta}.$$ $$2\,u_{xy} = 2\bigl(-u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+3\,u_{\eta\eta}\bigr) =-2\,u_{\xi\xi} -4\,u_{\xi\eta} +6\,u_{\eta\eta}.$$ $$-\,u_{yy} =-\bigl(u_{\xi\xi}+6\,u_{\xi\eta}+9\,u_{\eta\eta}\bigr) =-\,u_{\xi\xi}-6\,u_{\xi\eta}-9\,u_{\eta\eta}.$$

   Складываем:

   $$3\,u_{xx} + 2\,u_{xy} - u_{yy} = (3-2-1)\,u_{\xi\xi} + (-6-4-6)\,u_{\xi\eta} + (3+6-9)\,u_{\eta\eta} = 0\,u_{\xi\xi} -16\,u_{\xi\eta} + 0\,u_{\eta\eta}.$$

   Итого получается $-16\,u_{\xi\eta}$ от второй производной.

2. «Первая производная» часть:

   $$2\,u_x = 2\bigl(-u_\xi + u_\eta\bigr)=-2\,u_\xi + 2\,u_\eta,$$ $$3\,u_y = 3\bigl(u_\xi + 3\,u_\eta\bigr)=3\,u_\xi + 9\,u_\eta.$$

   Складываем:

   $$2\,u_x + 3\,u_y = ( -2+3)\,u_\xi + (2+9)\,u_\eta = \;1\,u_\xi \;+\;11\,u_\eta.$$

Таким образом, в новых переменных $\xi,\eta$ исходная PDE принимает вид:

$$-\,16\,u_{\xi\eta} \;+\; \bigl(u_\xi + 11\,u_\eta\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad -16\,u_{\\xi\eta} + u_\xi + 11\,u_\eta=0.$$

Часто каноническую форму выписывают так, чтобы «очистить» коэффициент при $u_{\xi\eta}$. Например, делим всё на $-16$:

$$u_{\xi\eta} \;-\; \tfrac{1}{16}\,u_\xi \;-\; \tfrac{11}{16}\,u_\eta =0.$$

Это и есть каноническая форма данного гиперболического уравнения в координатах $\xi = y - x,\;\eta = 3\,y + x$.

---

5. То же самое в Maple (PDEtools)

Ниже примерный порядок действий в среде Maple с пакетом PDEtools, который позволяет автоматически производить замену переменных и упрощать уравнение.

Шаги в Maple

1. Подготовка

   maple
   restart;
   with(PDEtools):  # Подгружаем нужные инструменты

2. Объявляем функцию $u(x,y)$ и задаём уравнение.

   maple
   # Объявим, что u - функция x и y:
   # (в современных версиях PDEtools это не всегда обязательно, но полезно)
   declare(u(x,y));
   
   # Задаём PDE:
   PDE := 3*diff(u(x,y),x,x)
          +2*diff(u(x,y),x,y)
          -diff(u(x,y),y,y)
          +2*diff(u(x,y),x)
          +3*diff(u(x,y),y)
          = 0:

3. Задаём замену
   Пусть $\displaystyle \xi = y - x,\quad \eta = 3y + x.$
   В Maple это делается командой dchange, которая принимает на вход список замен:

   maple
   # Опишем, как x,y выражаются через xi,eta ИЛИ напрямую укажем,
   # что xi, eta - это y-x, 3y+x:
   T := {xi = y - x, eta = 3*y + x};

4. Делаем преобразование PDE

   maple
   PDE_new := dchange(T, PDE, [u(x,y)]);
   # dchange(...) вернёт уравнение в новых переменных,
   # но Maple по умолчанию назовёт новую функцию, например, u(xi,eta).

5. Упростим результат
   Часто полезно вызвать simplify или collect:

   maple
   PDE_new_simpl := simplify(PDE_new);

6. Результат
   Обычно Maple выдаст уравнение, похожее на

   $$\alpha\,u_{\xi\eta} + \beta\,u_\xi + \gamma\,u_\eta = 0,$$

   где $\alpha,\beta,\gamma$ – некоторые числовые коэффициенты. Он может чуть иначе упростить коэффициенты (знак или общий множитель могут отличаться), но в любом случае будет эквивалент исходному $-16\,u_{\xi\eta} + u_\xi + 11\,u_\eta=0$.

---

Итого

1. Мы классифицировали PDE как гиперболическое (так как $B^2-AC>0$).
2. Нашли характеристики и в соответствии с ними ввели новые переменные $\xi=y-x$, $\eta=3y+x$.
3. В новых переменных уравнение свелось к каноническому виду $$u_{\xi\eta} \;-\; \tfrac{1}{16}\,u_\xi \;-\; \tfrac{11}{16}\,u_\eta =0.$$
4. В Maple это делается с помощью dchange из пакета PDEtools.

Таким образом, каноническая форма искомого уравнения (с точностью до умножения на константу) есть:

$$\boxed{ u_{\xi\eta} \;-\;\frac{1}{16}\,u_\xi \;-\;\frac{11}{16}\,u_\eta\;=\;0. }$$