logoChat01.ai

На двояко⁠-⁠выпуклую тонкую линзу с показателем пр...

Erstellt am: 16. Februar 2025

Beantwortet mit O3 Mini High von Chat01

Frage

На двояко⁠-⁠выпуклую тонкую линзу с показателем преломления материала 1,5 падает параллельно главной оптической оси пучок света. Радиусы кривизны поверхностей линзы равны 500 и 600 мм соответственно. Помимо фокуса, где собираются преломлённые линзой лучи, которые ни разу не отразились от внутренних поверхностей линзы, существует дополнительный фокус, где собираются лучи, испытавшие одно внутреннее отражение от одной из поверхностей линзы. Определите расстояние от линзы до точки, где фокусируются эти лучи.

Gedanke

Analyzing optical problem

I need to unpack the question, which is about a biconvex thin lens with a refractive index of 1.5. A parallel beam of light interacts with it. The radii of curvature of the surfaces are 500 mm and 600 mm, and I also need to account for an additional focus formed by rays the experience one internal reflection inside the lens. To solve, I’ll use the lens maker's formula for the first focus, then calculate the position of the second focus with the given reflections involved.

Considering the lens system

Okay, so we have a biconvex thin lens with two sets of rays: one set refracts through without reflection (forming the standard focus), and the other set undergoes internal reflection from one surface. The task is to determine the distance to the second focus, formed by rays that reflect off one surface and refract again. The radii R1 and R2 are 500 mm and 600 mm, and the refractive index is 1.5. Hmm, I'll need to figure out which surface the reflection occurs on — likely the rear one.

Considering the possible reflections

Okay, I’m thinking the ray enters the lens, hits the second surface, and gets internally reflected instead of transmitted. It then travels back inside the lens before exiting through the first surface.

For the biconvex lens, I need to use the correct sign conventions for the radii. After applying the lensmaker’s formula, I calculated the direct focus would be about 545.45 mm. But for the additional focus we’re looking for, I’m trying to track the ray's journey, which includes this internal reflection.

Breaking down ray paths

To figure out the path of a ray undergoing internal reflection, it enters the lens through the first surface, reaches the second surface, reflects, and then heads back toward the first surface, where it exits. The additional focus forms due to this altered path. For a thin lens, the curvature of each surface affects how the ray bends. I'll use the paraxial approximation (and possibly the matrix method) to track this deviation and find the focus point, factoring in these subtle reflections and refractions.

NoneNone

Reflecting on mirror paths

When a ray reflects off a spherical mirror, the angle of reflection is related to the ray's angle of incidence and the mirror's curvature. For a biconvex lens, the second surface appears concave from inside due to the curvature's effect. The mirror formula for this reflection involves applying the correct sign conventions based on the surface's curvature. After reflection, the ray’s angle changes, and it travels through the lens. The propagation and refraction at each surface need to be carefully calculated using the appropriate reflection and refraction formulas.

Calculating ray path and focus

For light coming from inside, the effective radius changes sign, so the refraction angle at surface 1 is different with the effective radius of -500 mm. This leads to the equation for the emergent angle and the ray following the surface's curvature. After reflection at the second surface, the ray's path is again refracted at surface 1. The final focus is determined by calculating the intersection point where the rays converge. After correcting for sign conventions, the rays might converge about 200 mm from the lens on the left side, rather than the previously calculated 142.857 mm.

Refining the focal length

I’m checking the effective radius for the spherical surface, where the light enters from inside the lens. The matrix for refraction includes a sign change for the radius, leading to the ray's angle after surface 1 being -0.01y. The focal length based on this angle is calculated as 100 mm instead of 200 mm. This seems off from previous calculations, possibly due to how I handled the sign conventions and focal length determination. Let me keep refining this with proper sign conventions to align the results.

Reasoned for 1m 2s

Antwort

Мы покажем, что параксиальный анализ даёт для лучей с одним внутренним отражением от задней поверхности следующий результат: их после выхода из линзы они расходятся под углом, пропорциональным высоте yy с коэффициентом −0.005-0.005 (в радианах на мм), то есть для луча с высотой yy его угол равен

θвыход=−0.005 y.\theta_{\text{выход}}=-0.005\,y.

Тогда уравнение луча в воздухе (слева от линзы) имеет вид

y+θвыход L=0⟹L=10.005=200 мм.y+\theta_{\text{выход}}\,L=0\quad\Longrightarrow\quad L=\frac{1}{0.005}=200\text{ мм}.

Ниже приведём краткий разбор.

Краткий разбор

  1. Первое преломление (вход в линзу):

    Для параллельного пучка (начальный угол 00) при переходе из воздуха (n1=1n_1=1) в стекло (n2=1.5n_2=1.5) на первой поверхности с радиусом R1=500R_1=500 мм (принимаем положительным, так как центр кривизны справа) справедлива формула:

    θвнутри= −n2−n1n2 R1 y=−0.51.5⋅500 y=−y1500 .\theta_{\text{внутри}}=\,-\frac{n_2-n_1}{n_2\,R_1}\,y=-\frac{0.5}{1.5\cdot500}\,y=-\frac{y}{1500}\,.

  2. Отражение от второй поверхности:

    При отражении на поверхности с радиусом R2=600R_2=600 мм (которая для луча, движущегося внутри, действует как зеркало) отражающий матричный закон (в параксиальном приближении) дает:

    θпосле отражения=θдо отражения−2R2 y=−y1500−2600 y=−y1500−y300 .\theta_{\text{после отражения}}=\theta_{\text{до отражения}}-\frac{2}{R_2}\,y =-\frac{y}{1500}-\frac{2}{600}\,y =-\frac{y}{1500}-\frac{y}{300}\,.

    Приводим к общему знаменателю:

    −y1500−5y1500=−6y1500=−y250 .-\frac{y}{1500}-\frac{5y}{1500}=-\frac{6y}{1500}=-\frac{y}{250}\,.

  3. Второе преломление (выход из линзы):

    Луч выходит из стекла (с n1=1.5n_1=1.5) в воздух (n2=1n_2=1) через ту же первую поверхность. При этом нужно правильно учесть, что для луча, идущего изнутри, эффективный радиус этой поверхности равен −500-500 мм (так как центр кривизны теперь слева). Тогда параксиальная формула (для данного интерфейса, записанная в виде n2θвыход=n1θвнутри+(n2−n1)/R yn_2\theta_{\text{выход}}=n_1\theta_{\text{внутри}}+(n_2-n_1)/R\,y) даёт:

    θвыход=1.5(−y250)+1−1.5−500 y=−1.5 y250+0.5500 y=−1.5 y250+y1000 .\theta_{\text{выход}}=1.5\Bigl(-\frac{y}{250}\Bigr)+\frac{1-1.5}{-500}\,y =-\frac{1.5\,y}{250}+\frac{0.5}{500}\,y =-\frac{1.5\,y}{250}+\frac{y}{1000}\,.

    Численно: 1.5/250=0.0061.5/250=0.006 и 1/1000=0.0011/1000=0.001, следовательно,

    θвыход=−0.006 y+0.001 y=−0.005 y .\theta_{\text{выход}}=-0.006\,y+0.001\,y=-0.005\,y\,.

  4. Определение фокуса:

    После выхода луч в воздухе (при n=1n=1) имеет уравнение:

    yвыход(L)=y+θвыход L=y−0.005 y L .y_{\text{выход}}(L)=y+\theta_{\text{выход}}\,L= y-0.005\,y\,L\,.

    Чтобы все лучи (при любых yy) пересекались с оптической осью (y=0y=0), необходимо:

    y (1−0.005 L)=0⟹L=10.005=200 мм .y\,(1-0.005\,L)=0\quad\Longrightarrow\quad L=\frac{1}{0.005}=200\text{ мм}\,.

Итог

Таким образом, лучи, испытавшие одно внутреннее отражение (на задней поверхности линзы), сходятся в точке, которая находится на расстоянии 200 мм от линзы (с той стороны, откуда падает пучок).

Ответ: 200 мм.

Diesen Q&A teilen