f(x) - четная функция. Определите четность/нечетно...

Разберём каждую функцию по отдельности, пользуясь тем, что $f(x)$ — чётная, то есть $f(-x) = f(x)$.

---

1) $f\bigl(x \cdot |x|\bigr)$

Шаги рассуждения

1. Рассмотрим функцию $$g(x) = f\bigl(x \cdot |x|\bigr).$$
2. Посмотрим на $g(-x)$: $$g(-x) = f\bigl((-x) \cdot |{-x}|\bigr).$$ Заметим, что $|{-x}| = |x|$. Тогда $$(-x) \cdot |{-x}| = -x \cdot |x| = -\bigl(x \cdot |x|\bigr).$$ Значит $$g(-x) = f\bigl(-(x \cdot |x|)\bigr).$$
3. Так как $f$ — чётная, то $$f\bigl(-(x \cdot |x|)\bigr) = f\bigl(x \cdot |x|\bigr).$$ Отсюда $$g(-x) = g(x).$$ Следовательно, $g(x)$ является чётной функцией.

Ответ: $f\bigl(x \cdot |x|\bigr)$ — чётная функция.

---

2) $x \cdot f(x)$

Шаги рассуждения

1. Пусть $$g(x) = x \cdot f(x).$$
2. Рассмотрим $g(-x)$: $$g(-x) = (-x) \cdot f(-x).$$
3. Так как $f$ — чётная ($f(-x) = f(x)$), имеем $$g(-x) = -x \cdot f(x) = -\bigl(x \cdot f(x)\bigr).$$ Значит $$g(-x) = -g(x).$$ Это условие нечётности.

Ответ: $x \cdot f(x)$ — нечётная функция.

---

3) $x^2 \cdot f(x)$

Шаги рассуждения

1. Пусть

   $$g(x) = x^2 \cdot f(x).$$

2. Тогда

   $$g(-x) = (-x)^2 \cdot f(-x) = x^2 \cdot f(x),$$

   так как $(-x)^2 = x^2$ и $f(-x) = f(x)$ (чётность $f$).

3. Следовательно,

   $$g(-x) = g(x),$$

   то есть функция $g(x)$ чётная.

Ответ: $x^2 \cdot f(x)$ — чётная функция.

---

Итоговые ответы

1. $f\bigl(x \cdot |x|\bigr)$ — чётная.
2. $x \cdot f(x)$ — нечётная.
3. $x^2 \cdot f(x)$ — чётная.