написать программу на питоне для решения задач на ...

Ниже приведён пример программы на Python, которая решает классическую задачу «переливания воды» (Water Jug Problem) для двух сосудов объёмом A и B с целью получить ровно N литров в одном из них. Программа выводит последовательность операций, если решение существует, иначе выводит «Impossible».

Основная идея решения — поиск в ширину (BFS) по всем возможным состояниям $(a, b)$, где $a$ и $b$ — текущее количество воды в сосудах A и B соответственно.

1. Состояния: $(a, b)$, где $0 \le a \le A$ и $0 \le b \le B$.
2. Начальное состояние: $(0, 0)$ — оба сосуда пусты.
3. Целевое условие: $a = N$ или $b = N$.
4. Переходы (операции):
   • >A: наполнить сосуд A до полного $(A, b)$.
   • >B: наполнить сосуд B до полного $(a, B)$.
   • A>: вылить воду из сосуда A $(0, b)$.
   • B>: вылить воду из сосуда B $(a, 0)$.
   • A>B: перелить из A в B до тех пор, пока либо A не опустеет, либо B не наполнится.
   • B>A: перелить из B в A до тех пор, пока либо B не опустеет, либо A не наполнится.

Перед началом поиска можно проверить выполнимость задачи с точки зрения теории чисел: если $\gcd(A, B)$ не делит $N$ или $N > \max(A, B)$, то задача не имеет решения.

Обратите внимание, что в худшем случае состояние пространство может быть достаточно большим ($(A+1)\times(B+1)$), однако условие задачи гарантирует, что если решение существует, его можно достичь не более чем за $10^5$ операций. Поэтому при реализации BFS мы можем обрезать поиск на глубине $10^5$, чтобы избежать избыточных вычислений.

Пример кода

python
from collections import deque
from math import gcd

def solve():
    import sys
    
    # Считываем входные данные
    data = sys.stdin.read().strip().split()
    A, B, N = map(int, data)
    
    # Если N больше обоих сосудов, решение невозможно
    if N > max(A, B):
        print("Impossible")
        return
    
    # Если N не делится на НОД(A,B), то задачи решения не имеет
    if N % gcd(A, B) != 0:
        print("Impossible")
        return
    
    # Поиск в ширину (BFS)
    start_state = (0, 0)  # оба сосуда пусты
    visited = set([start_state])
    
    # Очередь будет хранить кортеж (состояние, список операций)
    queue = deque([(start_state, [])])
    
    while queue:
        (a, b), path = queue.popleft()
        
        # Если достигли цели (в одном из сосудов ровно N литров)
        if a == N or b == N:
            # Выводим последовательность операций
            for op in path:
                print(op)
            return
        
        # Чтобы не превышать 10^5 операций, проверяем длину path
        if len(path) >= 100000:
            # При достижении предела прерываемся, т.к. нет простого решения
            break
        
        # Генерация всех возможных переходов из состояния (a, b)

        # 1. Наполнить A
        if a < A:
            new_state = (A, b)
            if new_state not in visited:
                visited.add(new_state)
                queue.append((new_state, path + [">A"]))
        
        # 2. Наполнить B
        if b < B:
            new_state = (a, B)
            if new_state not in visited:
                visited.add(new_state)
                queue.append((new_state, path + [">B"]))
        
        # 3. Вылить из A
        if a > 0:
            new_state = (0, b)
            if new_state not in visited:
                visited.add(new_state)
                queue.append((new_state, path + ["A>"]))
        
        # 4. Вылить из B
        if b > 0:
            new_state = (a, 0)
            if new_state not in visited:
                visited.add(new_state)
                queue.append((new_state, path + ["B>"]))
        
        # 5. Перелить из A в B
        if a > 0 and b < B:
            pour = min(a, B - b)  # столько можем перелить из A в B
            new_state = (a - pour, b + pour)
            if new_state not in visited:
                visited.add(new_state)
                queue.append((new_state, path + ["A>B"]))
        
        # 6. Перелить из B в A
        if b > 0 and a < A:
            pour = min(b, A - a)  # столько можем перелить из B в A
            new_state = (a + pour, b - pour)
            if new_state not in visited:
                visited.add(new_state)
                queue.append((new_state, path + ["B>A"]))
    
    # Если очередь опустела или мы прервали поиск — решения нет
    print("Impossible")


if __name__ == "__main__":
    solve()

Как использовать

1. Сохраните код в файл solve.py.
2. Запустите его, передав в стандартный ввод три числа $A, B, N$. Например:

   bash
   echo "3 5 4" | python solve.py

   Программа выведет последовательность операций, которая позволит получить 4 литра в одном из сосудов (если решение существует), или напечатает Impossible, если задача неразрешима.

Пояснения к решению

1. Проверка на выполнимость:

   • Если $N > \max(A, B)$, мы не можем отмерить $N$ литров ни в одном сосуде.
   • По свойству задачи на переливание, если $\gcd(A,B)$ не делит $N$, то решение невозможно.

2. BFS (поиск в ширину):

   • Мы храним все уже посещённые состояния $(a, b)$ в visited.
   • Для каждого состояния генерируются все допустимые переходы (операции).
   • Для каждого нового состояния запоминаем, какими операциями мы к нему пришли (список path), чтобы в случае успеха вывести последовательность.

3. Ограничение в $10^5$ операций:

   • Условие гарантирует, что если решение существует, то можно найти его за $10^5$ шагов или меньше.
   • Если длина полученного пути превышает $10^5$, считаем, что простое решение не найдено в рамках ограничения, и выводим Impossible.

Таким образом, если алгоритм находит состояние $(N, b)$ или $(a, N)$ для некоторого $a, b$, он восстанавливает и выводит последовательность операций для достижения нужной конфигурации. Если же перебор заканчивается безуспешно, выводится Impossible.

Вот программа для робота, которая закрасит все клетки лабиринта и остановится. Предполагается, что лабиринт представляет собой последовательность клеток, соединённых в цепочку, и робот изначально находится в конечной клетке.

python
def paint_maze():
    while True:
        fill_cell()  # Закрашиваем текущую клетку

        # Если можно идти влево, идем влево
        if free_from_left():
            move_left()
        # Если можно идти вправо, идем вправо
        elif free_from_right():
            move_right()
        # Если можно идти вверх, идем вверх
        elif free_from_up():
            move_up()
        # Если можно идти вниз, идем вниз
        elif free_from_down():
            move_down()
        else:
            break  # Если везде стены, значит, всё покрашено и нужно остановиться

# Запускаем алгоритм
paint_maze()

Объяснение:

1. Цикл: Пока робот может двигаться, он закрашивает текущую клетку и переходит в доступное направление.
2. Порядок проверок: Сначала проверяется движение влево, затем вправо, вверх и вниз. Это обеспечивает последовательное движение по лабиринту.
3. Остановка: Если робот оказывается в клетке, окружённой стенами, программа завершается.

Этот алгоритм работает для любых лабиринтов, в которых каждая клетка соединена максимум с двумя соседними (то есть это своего рода односвязная цепочка клеток).

Вот код на Python с использованием библиотеки pygame для игры в стиле "стрелялки". В этой игре:

• Игрок управляет квадратом (персонажем), который может двигаться по полю.
• Персонаж собирает еду (кружки), при этом увеличивается в размере.
• Время от времени появляются враги, которые двигаются в сторону игрока.
• Игрок может стрелять пулями, уничтожая врагов.

python
import pygame
import random
import math

# Инициализация Pygame
pygame.init()

# Константы экрана
WIDTH, HEIGHT = 800, 600
SCREEN = pygame.display.set_mode((WIDTH, HEIGHT))
pygame.display.set_caption("Стрелялки: Квадрат против врагов")

# Цвета
WHITE = (255, 255, 255)
RED = (255, 0, 0)
GREEN = (0, 255, 0)
BLUE = (0, 0, 255)

# ФПС
FPS = 60
clock = pygame.time.Clock()

# Игровые переменные
player_size = 20
player_x, player_y = WIDTH // 2, HEIGHT // 2
player_speed = 5
bullets = []
enemies = []
foods = []
enemy_spawn_time = 100  # Каждые N кадров появляется новый враг
bullet_speed = 7
enemy_speed = 2

# Создание еды
def spawn_food():
    return {"x": random.randint(20, WIDTH - 20), "y": random.randint(20, HEIGHT - 20)}

# Создание врага
def spawn_enemy():
    side = random.choice(["left", "right", "top", "bottom"])
    if side == "left":
        x, y = 0, random.randint(0, HEIGHT)
    elif side == "right":
        x, y = WIDTH, random.randint(0, HEIGHT)
    elif side == "top":
        x, y = random.randint(0, WIDTH), 0
    else:  # bottom
        x, y = random.randint(0, WIDTH), HEIGHT

    return {"x": x, "y": y, "size": 20}

# Главный игровой цикл
running = True
frame_count = 0
foods.append(spawn_food())

while running:
    SCREEN.fill(WHITE)
    keys = pygame.key.get_pressed()
    
    # Движение игрока
    if keys[pygame.K_LEFT] and player_x > 0:
        player_x -= player_speed
    if keys[pygame.K_RIGHT] and player_x < WIDTH - player_size:
        player_x += player_speed
    if keys[pygame.K_UP] and player_y > 0:
        player_y -= player_speed
    if keys[pygame.K_DOWN] and player_y < HEIGHT - player_size:
        player_y += player_speed
    
    # Стрельба пулями
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            running = False
        elif event.type == pygame.KEYDOWN:
            if event.key == pygame.K_SPACE:
                bullets.append({"x": player_x + player_size // 2, "y": player_y + player_size // 2, "dx": 0, "dy": -bullet_speed})

    # Движение пуль
    for bullet in bullets[:]:
        bullet["y"] += bullet["dy"]
        if bullet["y"] < 0 or bullet["y"] > HEIGHT:
            bullets.remove(bullet)
    
    # Проверка столкновения с едой
    for food in foods[:]:
        if math.hypot(player_x - food["x"], player_y - food["y"]) < player_size:
            player_size += 2  # Растем
            foods.remove(food)
            foods.append(spawn_food())  # Добавляем новую еду
    
    # Движение врагов к игроку
    for enemy in enemies[:]:
        dx = player_x - enemy["x"]
        dy = player_y - enemy["y"]
        dist = math.hypot(dx, dy)
        if dist != 0:
            dx, dy = dx / dist, dy / dist
        enemy["x"] += dx * enemy_speed
        enemy["y"] += dy * enemy_speed

        # Проверка столкновения с игроком
        if math.hypot(player_x - enemy["x"], player_y - enemy["y"]) < player_size:
            print("Game Over!")
            running = False
        
        # Проверка попадания пули
        for bullet in bullets[:]:
            if math.hypot(enemy["x"] - bullet["x"], enemy["y"] - bullet["y"]) < enemy["size"]:
                enemies.remove(enemy)
                bullets.remove(bullet)
                break

    # Спавн врагов
    if frame_count % enemy_spawn_time == 0:
        enemies.append(spawn_enemy())

    # Отрисовка игрока
    pygame.draw.rect(SCREEN, BLUE, (player_x, player_y, player_size, player_size))

    # Отрисовка еды
    for food in foods:
        pygame.draw.circle(SCREEN, GREEN, (food["x"], food["y"]), 5)

    # Отрисовка врагов
    for enemy in enemies:
        pygame.draw.rect(SCREEN, RED, (enemy["x"], enemy["y"], enemy["size"], enemy["size"]))

    # Отрисовка пуль
    for bullet in bullets:
        pygame.draw.circle(SCREEN, (0, 0, 0), (bullet["x"], bullet["y"]), 5)

    pygame.display.flip()
    frame_count += 1
    clock.tick(FPS)

pygame.quit()

Описание игры

• Управление персонажем:
  • ← → ↑ ↓ — движение игрока.
  • Пробел — выстрел пули вверх.
• Сбор еды:
  • Периодически на поле появляется еда.
  • Когда игрок касается еды, он увеличивается в размере.
• Враги:
  • Враги появляются с краев экрана и движутся в сторону игрока.
  • Если враг коснется игрока, игра заканчивается.
• Стрельба:
  • Игрок стреляет вверх.
  • Если пуля попадает во врага, враг исчезает.

Дополнительные улучшения

• Можно добавить уровни сложности (например, увеличение скорости врагов).
• Можно добавить различные типы врагов.
• Можно добавить таймер, чтобы усложнить игру.

Этот код создаёт простую, но увлекательную стрелялку!

Вот код для простой 2D-игры в стрелялки на pygame. В этой игре:

• Игрок управляет квадратом (WASD).
• Можно стрелять (Пробел).
• Враги появляются и двигаются вниз.
• Если враг достигает нижней границы или сталкивается с игроком — игра заканчивается.
• Игрок может уничтожать врагов, стреляя в них.

Установка pygame

Перед запуском убедитесь, что pygame установлен:

bash
pip install pygame

Исходный код игры

python
import pygame
import random

# Инициализация Pygame
pygame.init()

# Настройки экрана
WIDTH, HEIGHT = 800, 600
SCREEN = pygame.display.set_mode((WIDTH, HEIGHT))
pygame.display.set_caption("Стрелялки")

# Цвета
WHITE = (255, 255, 255)
RED = (200, 0, 0)
GREEN = (0, 200, 0)
BLUE = (0, 0, 200)
BLACK = (0, 0, 0)

# Игровые параметры
player_size = 50
player_x = WIDTH // 2
player_y = HEIGHT - 80
player_speed = 5

bullets = []
bullet_speed = 7

enemies = []
enemy_speed = 2
enemy_spawn_rate = 30  # Каждые N кадров появляется враг

clock = pygame.time.Clock()
FPS = 60

running = True
frame_count = 0

# Основной игровой цикл
while running:
    SCREEN.fill(WHITE)
    
    keys = pygame.key.get_pressed()
    
    # Движение игрока
    if keys[pygame.K_a] and player_x > 0:
        player_x -= player_speed
    if keys[pygame.K_d] and player_x < WIDTH - player_size:
        player_x += player_speed

    # Стрельба
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            running = False
        elif event.type == pygame.KEYDOWN:
            if event.key == pygame.K_SPACE:
                bullets.append({"x": player_x + player_size // 2 - 5, "y": player_y, "size": 10})

    # Движение пуль
    for bullet in bullets[:]:
        bullet["y"] -= bullet_speed
        if bullet["y"] < 0:
            bullets.remove(bullet)

    # Спавн врагов
    if frame_count % enemy_spawn_rate == 0:
        enemies.append({"x": random.randint(0, WIDTH - player_size), "y": 0, "size": player_size})

    # Движение врагов
    for enemy in enemies[:]:
        enemy["y"] += enemy_speed

        # Проверка столкновения с игроком
        if enemy["y"] + enemy["size"] >= player_y and player_x < enemy["x"] + enemy["size"] and player_x + player_size > enemy["x"]:
            print("Game Over!")
            running = False

        # Проверка выхода за нижнюю границу
        if enemy["y"] > HEIGHT:
            enemies.remove(enemy)

    # Проверка попадания пули во врага
    for enemy in enemies[:]:
        for bullet in bullets[:]:
            if (enemy["x"] < bullet["x"] < enemy["x"] + enemy["size"] and
                    enemy["y"] < bullet["y"] < enemy["y"] + enemy["size"]):
                enemies.remove(enemy)
                bullets.remove(bullet)
                break

    # Отрисовка игрока
    pygame.draw.rect(SCREEN, BLUE, (player_x, player_y, player_size, player_size))

    # Отрисовка врагов
    for enemy in enemies:
        pygame.draw.rect(SCREEN, RED, (enemy["x"], enemy["y"], enemy["size"], enemy["size"]))

    # Отрисовка пуль
    for bullet in bullets:
        pygame.draw.rect(SCREEN, BLACK, (bullet["x"], bullet["y"], bullet["size"], bullet["size"]))

    pygame.display.flip()
    frame_count += 1
    clock.tick(FPS)

pygame.quit()

Как играть

• Управление:
  • A / D — движение влево / вправо.
  • Пробел — стрельба.
• Цель:
  • Стрелять во врагов, пока они не достигли нижней границы.
  • Если враг касается игрока — игра заканчивается.

Дополнительные улучшения

• Добавить анимацию выстрелов и взрывов.
• Разные типы врагов и их поведение.
• Счётчик очков и уровни сложности.
• Улучшение оружия, бонусы.

Этот код создаёт основу для классической аркадной стрелялки!

Вот код для простой версии Agar.io со стрелялкой и врагами на pygame. В этой игре:

• Игрок — это круг, который двигается с помощью WASD и стреляет пулями (Пробел).
• Еда — маленькие кружки, которые увеличивают игрока при поедании.
• Враги — появляются на поле и движутся к игроку.
• Стрельба — игрок может уничтожать врагов, стреляя в них.
• Геймплей — игра продолжается, пока враг не столкнётся с игроком.

Установка Pygame

Перед запуском убедитесь, что у вас установлен pygame:

bash
pip install pygame

Исходный код игры

python
import pygame
import random
import math

# Инициализация Pygame
pygame.init()

# Настройки экрана
WIDTH, HEIGHT = 800, 600
SCREEN = pygame.display.set_mode((WIDTH, HEIGHT))
pygame.display.set_caption("Agar.io со стрелялкой")

# Цвета
WHITE = (255, 255, 255)
RED = (200, 0, 0)
GREEN = (0, 200, 0)
BLUE = (0, 0, 200)
BLACK = (0, 0, 0)

# Игровые параметры
player_radius = 20
player_x = WIDTH // 2
player_y = HEIGHT // 2
player_speed = 4

bullets = []
bullet_speed = 7
bullet_size = 5

enemies = []
enemy_speed = 2
enemy_spawn_rate = 100  # Каждые N кадров появляется враг

foods = []
food_spawn_rate = 30  # Каждые N кадров появляется еда
food_size = 5

clock = pygame.time.Clock()
FPS = 60
running = True
frame_count = 0

# Создание еды
def spawn_food():
    return {"x": random.randint(20, WIDTH - 20), "y": random.randint(20, HEIGHT - 20)}

# Создание врага
def spawn_enemy():
    side = random.choice(["left", "right", "top", "bottom"])
    if side == "left":
        x, y = 0, random.randint(0, HEIGHT)
    elif side == "right":
        x, y = WIDTH, random.randint(0, HEIGHT)
    elif side == "top":
        x, y = random.randint(0, WIDTH), 0
    else:  # bottom
        x, y = random.randint(0, WIDTH), HEIGHT

    return {"x": x, "y": y, "radius": 15}

# Начальный спавн еды
for _ in range(10):
    foods.append(spawn_food())

# Основной игровой цикл
while running:
    SCREEN.fill(WHITE)
    keys = pygame.key.get_pressed()

    # Движение игрока
    if keys[pygame.K_a] and player_x > player_radius:
        player_x -= player_speed
    if keys[pygame.K_d] and player_x < WIDTH - player_radius:
        player_x += player_speed
    if keys[pygame.K_w] and player_y > player_radius:
        player_y -= player_speed
    if keys[pygame.K_s] and player_y < HEIGHT - player_radius:
        player_y += player_speed

    # Стрельба
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            running = False
        elif event.type == pygame.KEYDOWN:
            if event.key == pygame.K_SPACE:
                bullets.append({"x": player_x, "y": player_y, "dx": 0, "dy": -bullet_speed})

    # Движение пуль
    for bullet in bullets[:]:
        bullet["y"] += bullet["dy"]
        if bullet["y"] < 0 or bullet["y"] > HEIGHT:
            bullets.remove(bullet)

    # Спавн еды
    if frame_count % food_spawn_rate == 0:
        foods.append(spawn_food())

    # Спавн врагов
    if frame_count % enemy_spawn_rate == 0:
        enemies.append(spawn_enemy())

    # Движение врагов
    for enemy in enemies[:]:
        dx = player_x - enemy["x"]
        dy = player_y - enemy["y"]
        dist = math.hypot(dx, dy)
        if dist != 0:
            dx, dy = dx / dist, dy / dist
        enemy["x"] += dx * enemy_speed
        enemy["y"] += dy * enemy_speed

        # Проверка столкновения с игроком
        if math.hypot(player_x - enemy["x"], player_y - enemy["y"]) < player_radius + enemy["radius"]:
            print("Game Over!")
            running = False

    # Проверка столкновения с едой
    for food in foods[:]:
        if math.hypot(player_x - food["x"], player_y - food["y"]) < player_radius:
            player_radius += 1  # Увеличение игрока
            foods.remove(food)

    # Проверка попадания пули во врага
    for enemy in enemies[:]:
        for bullet in bullets[:]:
            if math.hypot(enemy["x"] - bullet["x"], enemy["y"] - bullet["y"]) < enemy["radius"]:
                enemies.remove(enemy)
                bullets.remove(bullet)
                break

    # Отрисовка игрока
    pygame.draw.circle(SCREEN, BLUE, (player_x, player_y), player_radius)

    # Отрисовка еды
    for food in foods:
        pygame.draw.circle(SCREEN, GREEN, (food["x"], food["y"]), food_size)

    # Отрисовка врагов
    for enemy in enemies:
        pygame.draw.circle(SCREEN, RED, (enemy["x"], enemy["y"]), enemy["radius"])

    # Отрисовка пуль
    for bullet in bullets:
        pygame.draw.circle(SCREEN, BLACK, (bullet["x"], bullet["y"]), bullet_size)

    pygame.display.flip()
    frame_count += 1
    clock.tick(FPS)

pygame.quit()

Как играть

• Управление:
  • WASD — движение игрока.
  • Пробел — выстрел вверх.
• Цель:
  • Собирать еду (зелёные точки), чтобы увеличиваться.
  • Убивать врагов (красные кружки) выстрелами.
  • Избегать столкновения с врагами.

Что можно улучшить

• Добавить уровни сложности (например, увеличение скорости врагов).
• Добавить множители очков за убитых врагов.
• Добавить различные виды врагов с разным поведением.
• Добавить бонусы (например, временную неуязвимость или увеличение скорости).
• Добавить анимации и эффекты для взрывов врагов.

Что получилось

Этот код создаёт игру, где игрок (синий круг) собирает еду, становится больше и стреляет в приближающихся врагов. Всё это делает её похожей на Agar.io, но с элементами стрельбы!

Теперь можно экспериментировать с механикой и добавлять новые фишки!

Ниже приводится краткое разъяснение того, как устроена «одноклассность» в группе из 10 человек и почему во втором случае возникает противоречие. Мы исходим из того, что «быть одноклассниками» есть обычное класс-отношение (то есть разбивает всю компанию на непересекающиеся «классы»).

1) Каждый имеет ровно 4 одноклассника

Если у каждого человека в компании ровно 4 одноклассника, значит, каждый человек состоит в классе ровно из 5 человек (он сам и ещё 4).

• Если бы вся компания (10 человек) была одним-единственным классом, то каждый имел бы 9 одноклассников, а не 4. Противоречие.
• Поэтому класс не может быть один. Но тогда для всех (по условию) класс каждого должен иметь размер 5.
• Единственный способ разбить 10 человек на «непересекающиеся классы» размера 5 — это разбить их на два класса по 5 человек.

Таким образом, никак не получается, чтобы все 10 человек были «одноклассниками»: они обязательно разобьются на ровно два непересекающихся класса по 5 человек каждый. Ответ на вопрос «можно ли утверждать, что все они одноклассники» — нет.

2) Каждый имеет ровно 5 одноклассников

Если у каждого в компании ровно 5 одноклассников, то каждый человек состоит в классе ровно из 6 человек (он сам и ещё 5).

• Попробуем разбить 10 человек на непересекающиеся классы так, чтобы в каждом классе было ровно 6 человек.
• Однако разбить 10 на «части» по 6, которые не пересекаются, невозможно:
  • Один класс из 6 человек оставляет 4 «лишних», а те 4 уже не могут составить класс из 6.
  • Два и более класса по 6 человек тоже невозможны, поскольку всего людей 10, а 6+6 уже 12 и т.д.

Таким образом, вообще невозможно реализовать ситуацию, где у всех ровно 5 одноклассников при условии, что «одноклассники» — это отношение эквивалентности (то есть одна жёсткая разбивка на классы).

Отсюда ответ на второй вопрос: «Можно ли тогда утверждать, что все 10 – одноклассники?» — нет, потому что сама ситуация (каждый имеет ровно 5 одноклассников) не может возникнуть при корректной разбивке на классы. Фактически, такого «расположения» людей в одну или несколько параллелей не бывает.

Итоговые ответы

1. Если у каждого по 4 одноклассника, то они разобьются на два класса по 5 человек, и, значит, никак не могут все быть из одного класса.
2. Если у каждого по 5 одноклассников, то такое вообще невозможно для 10 человек, если «одноклассность» понимается как обычная разбивка на непересекающиеся классы.

Ниже приведено решение для классической задачи о подсчёте числа путей на доске $5\times 5$, если фишка может ходить только:

1. На одну клетку вверх (из $(x,y)$ в $(x,y+1)$),
2. На одну клетку вправо (из $(x,y)$ в $(x+1,y)$),
3. По диагонали вверх-вправо (из $(x,y)$ в $(x+1,y+1)$).

Фишка стартует в левой нижней клетке (обозначим её $(0,0)$) и должна попасть в правую верхнюю $(4,4)$ на поле $5\times 5$.

Часть (а): Общее число путей

Обозначим через $f(i,j)$ количество способов добраться из $(0,0)$ в клетку $(i,j)$ при разрешённых трёх типах ходов. Тогда выполняется рекуррентное соотношение:

Границы:

• $f(0,0)=1$ (в стартовой клетке «один способ быть там» — мы уже там);
• Если какая-то координата < 0, считаем соответствующее $f=0$.

Построим таблицу $f(i,j)$ для $i,j$ от 0 до 4 (строки – это $y$, столбцы – это $x$, либо наоборот, главное — соблюдать единообразие). Ниже удобнее считать $(i,j)$ как $(x,y)$.

Шаг 1. Заполняем первую строку и первый столбец

• Для точки $(0,0)$: $f(0,0)=1$.
• По нижней границе (т.е. $y=0$) можно идти только вправо, значит в каждой клетке $(x,0)$ по одной дороге:

• По левой границе ($x=0$) можно идти только вверх:

Шаг 2. Заполняем внутренние клетки по формуле

Пример вычислений:

• $f(1,1)=f(0,1)+f(1,0)+f(0,0)=1+1+1=3$.
• $f(2,1)=f(1,1)+f(2,0)+f(1,0)=3+1+1=5$, и т.д.

Полная таблица значений $f(i,j)$ (можно «считать» построчно или столбцами):

Искомое количество путей до $(4,4)$ есть $f(4,4)=\boxed{321}$.

Часть (b): Число путей, не проходящих через «заштрихованную» клетку

Обычно в аналогичных задачах «заштрихованной» делают центральную клетку $(2,2)$. Предположим, что именно $(2,2)$ нужно исключить.

Идея решения

1. Подсчитать общее количество путей (это мы уже сделали — 321).
2. Подсчитать, сколько из всех путей проходят через $(2,2)$.
3. Вычесть из общего количества (1) число путей (2) — получим число путей, которые $(2,2)$ не посещают.

Чтобы попасть через $(2,2)$, надо сначала добраться из $(0,0)$ до $(2,2)$, а затем из $(2,2)$ до $(4,4)$.

• Количество способов добраться $(0,0)\to(2,2)$ равно $f(2,2)=13$ (см. таблицу).
• Остаётся найти число путей $(2,2)\to(4,4)$ при тех же правилах (вверх, вправо, диагональ). По симметрии или отдельным расчётом (аналогичная «динамика», только старт в $(2,2)$), получается тоже $13$.

Тогда число путей, проходящих через $(2,2)$, равно $13 \times 13 =169$.

Следовательно, число путей, не проходящих через $(2,2)$, будет:

Итоги

1. (a) Всего путей из левого нижнего угла $(0,0)$ в правый верхний $(4,4)$ при ходах «вверх, вправо, по диагонали» на доске $5\times 5$ — $\boxed{321}.$

2. (б) Если «заштрихованная» клетка — это центр $(2,2)$, то количество путей, не проходящих через неё, равно $\boxed{152}.$

Для начала найдём общее число перестановок 4 различных чисел $\{1,2,3,9\}$. Оно равно $4! = 24.$

Далее найдём, сколько перестановок имеют числа 1 и 2 рядом и вычтем их из общего числа:

1. Считаем пару $(1,2)$ как «один блок». Тогда вместе с остальными числами $\{3,9\}$ получается всего 3 «объекта»: блок $(1,2)$, число 3 и число 9.

   • Их можно переставить тремя способами ($3!$) = 6.
   • Но внутри блока $(1,2)$ можно иметь как $(1,2)$, так и $(2,1)$, то есть 2 варианта.
   • Итого при «склеенном» блоке получается $3! \times 2 = 6 \times 2 = 12$ перестановок, в которых 1 и 2 стоят рядом.

2. Чтобы получить число перестановок, где $1$ и $2$ не стоят рядом, вычитаем найденное из общего:

   $$4! - 12 = 24 - 12 = 12.$$

Ответ: существует $\boxed{12}$ таких перестановок.

Чтобы найти, в скольких перестановках из чисел $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ цифры $1$ и $2$ не стоят рядом, воспользуемся классическим принципом:

1. Общее число перестановок всех 9 различных цифр:

   $$9! = 362{,}880.$$

2. Число перестановок, где $1$ и $2$ идут подряд:

   • Считаем пару $(1,2)$ как «один блок». Тогда вместе с остальными 7 цифрами получается всего 8 объектов.
   • Количество способов переставить эти 8 объектов: $8!$.
   • Внутри «блока» есть 2 варианта расположения: $(1,2)$ или $(2,1)$.
   • Итого: $2 \times 8! = 2 \times 40{,}320 = 80{,}640.$

3. Число перестановок, где $1$ и $2$ не стоят рядом:

   $$9! \;-\; 2 \times 8! \;=\; 362{,}880 \;-\; 80{,}640 \;=\; 282{,}240.$$

Ответ: $\boxed{282{,}240}.$

В классических задачах о расстановке $n$ человек в круг (или «как они могут взяться за руки») принято считать, что поворот всего круга не даёт новой расстановки (то есть вращения считаются одной и той же «круговой» перестановкой). Зато отражения (зеркальные перевороты) обычно считают различными, если в условии не сказано иначе.

Для 20 детей стандартный ответ получается так:

1. Если посадить их в ряд, то есть $20!$ перестановок.
2. Но в круге мы считаем, что любую расстановку можно повернуть так, что, например, «первый» ребёнок окажется на фиксированном месте. То есть фактор в $20$ раз меньше.

Таким образом, число способов расставить 20 человек по кругу (и, соответственно, «взяться за руки») будет

если отражения считать разными (то есть если «идти по кругу слева направо» и «справа налево» — это разные случаи).

Если бы в задаче явно говорилось, что отражённая расстановка считается той же самой (то есть «зеркальное» расположение людей не отличается), тогда ответ был бы $\frac{19!}{2}$. Но в классическом подходе без такого уточнения принимают именно $(n-1)!$.

Итог: