一道难题，解答一下

下面给出一个比较常见的思路纲要，供参考。由于题中几何/力学关系较繁琐，完整严格的推导往往相当冗长，这里重点说明关键的物理‐几何理由以及结果的表达形式。

1. 说明 $e$ 处速度 $v'$ 与 $v_0$ 的大小关系并求 $v_0$

题干已指明：

从能量观点来看，只要从 $A$ 到 $e$ 的过程中没有净的势能增减（或者说由于几何布置使得“增势”和“降势”恰好抵消），则质点在 $e$ 处的速率必与在 $A$ 处相同。也就是说

v' \;=\; v_0.

这一点往往可通过“沿途若干次弹性碰壁不耗能 + 各段的重力做功总和为零��来定性说明。

至于如何“求” $v_0$ ，通常是题目还会给一个附加条件，例如：

从而把运动学方程或能量守恒方程写出来，解出 $v_0$ 。典型结果常见于

v_0 \;=\;\sqrt{2\,g\,L},\quad \sqrt{4\,g\,L},\quad \text{或 } \sqrt{2\,g\,(\text{某些几何高度差})},

具体要视题目中对“立方体棱长 $L$ ”以及“从哪层到哪层”等高度差的设定而定。若题目未给出更多数值条件，就只能说明“ $v_0$ 由能量守恒在题设几何约束下可唯一确定”，常见形式就是

v_0 \;=\;\sqrt{2\,g\,\Delta h},

其中 $\Delta h$ 是题目所要求的等效“净升降”高度。

若碰撞弹性、无阻力，且整个装置使得质点的运动轨迹封闭并可周期性重复，那么它回到 $A$ 的时刻大多呈现等时间间隔。也就是说，一旦我们算出一次完整“绕装置一周”所需的总时间 $T$ ，则回到 $A$ 的时刻就是

t_n \;=\;n\,T,\quad n=0,1,2,3,\dots

这在理想情形下可无限重复(忽略现实中误差)。题目若问“求它第 $n$ 次回到 $A$ 的时间范围/区间”，本质上就是

t\in [n\,T,\; (n+1)T) \quad\text{之类，或干脆}\; t=nT.

有时题中也可能只要你给出“存在这样的 $t_n$ 并指出其取值”即可。

因为题目指明要“以运动时间 $t$ 为参数的空间曲线方程”，且运动在不同区域时，重力加速度方向不同、碰壁会改变速度方向。最直接的写法往往是分段给出：

确定坐标系。 题图中通常取 $Oxyz$ 直角坐标， $z$ 竖直向上， $x,y$ 水平正交。
分段列方程。 每一段都相当于“在某一恒定加速度(即当前那段的重力方向)下的平抛/斜抛运动”，叠加上若干次与竖直或水平面的弹性碰撞(碰撞时只翻转法向分速度分量，不损失能量)。
- 例如：在某段（时区 $t\in [t_i,\,t_{i+1})$ ）运动方程可以形如 $\begin{cases} x(t)=x_i+v_{x,i}(t-t_i)+\tfrac12 a_{x}(t-t_i)^2,\\ y(t)=y_i+v_{y,i}(t-t_i)+\tfrac12 a_{y}(t-t_i)^2,\\ z(t)=z_i+v_{z,i}(t-t_i)+\tfrac12 a_{z}(t-t_i)^2, \end{cases}$ 其中 $(x_i,y_i,z_i)$ 和 $\bigl(v_{x,i},v_{y,i},v_{z,i}\bigr)$ 分别是进入该段时的位置、速度， $\bigl(a_x,a_y,a_z\bigr)$ 为该段的恒定加速度（由那段的重力方向决定）。
- 碰撞发生在与装置某壁面相交时，用弹性碰撞条件（速度法向量反向，切向量不变）来更新 $\bigl(v_{x},v_{y},v_{z}\bigr)$ 。然后进入下一段或继续同一段的运动。
重复反射/拼接。 这样分段拼接下去，直到把题图所示的 $a\to b\to c\to d\to e\to f\to g\to h\to a$ 一整圈补完。
如果题目只需要“写出一般形式”而不必追求化到一个“单一显式公式”，那么把各段起止时刻 $t_i$ 、位移/速度写清即可，属于分段参数方程。

很多此类立体“多段反射+分段重力”题，真正写到最后往往是一个相当长的“分段定义”的参数方程。若题目仅要求“给出原理与形式”，则列出通用的牛顿运动学方程+碰撞条件就可。

(1) 由于能量守恒且各段设计上势能改变量总和为零，常可推得 $v'=v_0$ 。再根据题目给的“极值”或“恰好通过某些面”条件，用能量或运动学方程解出 $v_0$ ，常见结果是 $\sqrt{2\,g\,(\text{某净高度})}$ 。
(2) 在无耗能、可周期往返��模型中，第 $n$ 次回到 $A$ 的时刻就是 $t=nT$ ， $n=0,1,2,\dots$ 。题目若让你求“范围”，多半就是指出 $t$ 落在这些离散时刻或区间。
(3) 轨迹方程可分段写出：每一段都在“恒加速度+弹性碰撞”下，用平抛/斜抛的基本公式并在碰壁时翻转相应速度分量。最后可拼成一个完整的（分段）空间曲线参数方程。

这类“三维多面反射+多方向重力”题的要点就是机械能守恒、碰撞弹性反射和分段运动学。只要牢牢把握这三条，再结合题目给出的具体几何数据（例如立方体棱长 $L$ 、各点坐标等），就能一步步求出所需的速度关系、回到 $A$ 的时刻以及分段式的运动方程。