Глубина кодирования для FLAC

Разберём задачу шаг за шагом.

Исходные данные:

1. Длительность записи: 3 минуты = 180 с.
2. Частота дискретизации: 48 000 Гц.
3. Стереозвук: 2 канала.
4. Глубина кодирования (битность) — переменная $n$ (целое число).
5. Формат FLAC даёт сжатие примерно в 2 раза относительно несжатого PCM.
6. Максимальный объём полученного файла: 30 Мбайт (здесь будем считать 1 Мбайт = $1\,048\,576$ байт, что обычно соответствует двоичному «мебибайту»).

---

1. Несжатый объём записи (PCM)

Общий объём в битах для всей записи:

$$\text{Объём}_{\text{бит}} = (\text{частота дискретизации}) \times (\text{число каналов}) \times (\text{глубина кодирования }n) \times (\text{длительность})$$

Подставим числа:

$$48\,000 \times 2 \times n \times 180 = 17{,}280{,}000 \times n \quad \text{бит}.$$

Переводим биты в байты, разделив на 8:

$$\text{Объём}_{\text{байты}} = \frac{17{,}280{,}000 \times n}{8} \;=\; 2{,}160{,}000 \times n.$$

Теперь переведём байты в мегабайты (по $1\,048\,576$ байт в 1 МБ):

$$\text{Объём}_{\text{MB (RAW)}} = \frac{2{,}160{,}000 \times n}{1\,048\,576}.$$

---

2. Учёт сжатия FLAC (в 2 раза)

После сжатия вдвое получаем:

$$\text{Объём}_{\text{MB (FLAC)}} = \frac{1}{2} \;\times\; \text{Объём}_{\text{MB (RAW)}} = \frac{2{,}160{,}000 \times n}{2 \times 1\,048\,576}.$$

Обозначим

$$C = \frac{2{,}160{,}000}{2 \times 1\,048\,576}.$$

Численно это приближённо даёт $C \approx 1.03$. Значит

$$\text{Объём}_{\text{MB (FLAC)}} \approx 1.03 \times n.$$

---

3. Условие на максимальный объём

Файл не должен превышать 30 МБ, поэтому:

$$1.03 \times n \;\le\; 30 \quad \Longrightarrow \quad n \;\le\; \frac{30}{1.03} \approx 29.1.$$

Так как глубина кодирования $n$ — целое число, получаем:

$$n \;\le\; 29.$$

---

4. Все возможные варианты битности

Таким образом, любая целочисленная глубина кодирования от 1 до 29 бит включительно даёт итоговый FLAC-файл объёмом не более 30 МБ.

В аудиопрактике, правда, обычно используются «круглые» значения 8, 16, 24, 32 бита (иногда 20). Из них, согласно расчёту, 8, 16 и 24 бита проходят по объёму (≤ 30 МБ), а 32 бита уже превышают лимит.

---

Краткий ответ

• Если учитывать любую глубину кодирования в целых битах, то под ограничение 30 МБ попадают все $n$ от 1 до 29.
• Если говорить о стандартных для музыки дискретных значениях, то возможны 8, 16, 20, 24 бит, а вот при 32 битах размер уже будет больше 30 МБ.

Чтобы найти дополнительный код числа $-3$ в 5 битах, выполните следующие шаги:

1. Запишите прямой код числа $3$ в 5 битах

   $$3_{10} = 00011_2$$

2. Инвертируйте все биты (меняете 0 на 1 и 1 на 0)

   $$00011_2 \;\to\; 11100_2$$

3. Прибавьте 1 к полученному результату

   $$11100_2 + 1_2 = 11101_2.$$

Таким образом, дополнительный код числа $-3$ в 5 битах:

$$\boxed{11101_2}.$$

Для решения задачи важно учесть, что в UTF‑8 символы из разных диапазонов занимают разное число байт. По условию:

• $\tfrac13$ всех символов — это пробелы, цифры, знаки препинания (то есть символы ASCII, по 1 байту в UTF‑8).
• $\tfrac23$ всех символов — это армянские буквы (находятся в диапазоне U+0530–U+058F, что соответствует 2‑байтному представлению в UTF‑8).

Пусть:

• $N$ — общее количество символов в тексте;
• Размер файла в UTF‑8 равен 150 КБ (будем считать 1 KB = 1024 байта).

1. Определим $N$ по размеру в UTF‑8

В UTF‑8:

• На $\tfrac13 N$ ASCII-символов приходится $1 \times \tfrac13 N$ байт,
• На $\tfrac23 N$ армянских символов приходится $2 \times \tfrac23 N = \tfrac{4}{3}N$ байт.

Итого размер (в байтах) в UTF‑8:

$$\underbrace{1 \times \tfrac13 N}_{\text{ASCII}} + \underbrace{2 \times \tfrac23 N}_{\text{армянские}} = \tfrac13 N + \tfrac{4}{3}N \;=\; \tfrac{5}{3} N.$$

По условию, это $\tfrac53 N = 150\,\text{KB} = 150 \times 1024 \,\text{байт}$.
Тогда

$$N \;=\; \frac{150 \times 1024 \times 3}{5} \;=\; 92160 \,\text{символов}.$$

2. Размер в UTF‑32

В UTF‑32 любой символ занимает ровно 4 байта. Следовательно, при тех же $N = 92160$ символах объём станет

$$4 \times 92160 =\; 368640 \,\text{байт} =\; \frac{368640}{1024} =\; 360 \,\text{KB}.$$

Таким образом, при сохранении в UTF‑32 размер файла составит 360 КБ (если 1 KB принимается равным 1024 байтам).

Ниже разберёмся, как в целом решаются подобные задачи, а в конце приведём пример расчёта. К сожалению, без конкретного изображения (его точного распределения пикселей по цветам) нельзя назвать точные числа. Но алгоритм вычисления всегда один и тот же.

---

1. Размер при хранении цвета каждого пикселя

Обычно предполагается, что каждый пиксель хранится в 24-битном (трёхбайтовом) формате: 1 байт на красный канал (R), 1 байт на зелёный (G) и 1 байт на синий (B).

Если в изображении $N$ пикселей, то при «сыром» хранении (без сжатия) объём будет

$$\text{Размер}_{\text{uncompressed}} = N \times 3 \;\text{байта}.$$

Часто в задачах говорится, что «изображение прямоугольное, имеет ширину $W$ и высоту $H$», тогда общее число пикселей $N = W \times H$.

---

2. Размер при сжатии алгоритмом RLE

Алгоритм RLE (Run-Length Encoding) «вытягивает» все пиксели по строкам (или иногда иначе, но стандартно — слева направо, сверху вниз) в одну последовательность, а затем ищет подряд идущие пиксели одинакового цвета. Каждая такая серия (run) кодируется отдельно:

• 1 байт, указывающий, сколько одинаковых пикселей подряд (т. к. максимум 256 пикселей, 1 байта достаточно).
• 3 байта, чтобы записать сам цвет (R, G, B).

Итого на одну серию (кусок одинаковых по цвету подряд идущих пикселей) уходит 4 байта.

Чтобы найти объём сжатого RLE-файла, нужно:

1. Последовательно «прочитать» изображение (обычно по строкам).
2. Разбить всё на серии пикселей одного цвета.
3. Подсчитать количество таких серий (пусть их будет $k$).
4. Умножить количество серий на 4 байта:

$$\text{Размер}_{\text{RLE}} = k \times 4 \;\text{байта}.$$

---

3. Пример (для иллюстрации)

Допустим, у нас есть простое изображение шириной 8 пикселей и высотой 1 пиксель (всего 8 точек). Его цвета слева направо такие:

• 3 чёрных пикселя подряд,
• 2 белых,
• 3 чёрных.

Тогда:

1. Без сжатия (каждый пиксель по 3 байта):

   $$N = 8, \quad \text{Размер}_{\text{uncompressed}} = 8 \times 3 = 24 \;\text{байта}.$$

2. С учётом RLE:

   • Первая серия: 3 чёрных (1 байт на число «3», 3 байта на цвет чёрный),
   • Вторая серия: 2 белых,
   • Третья серия: 3 чёрных.
     Итого $k = 3$ серии. Каждый «кусок» занимает 4 байта, значит:
   $$\text{Размер}_{\text{RLE}} = k \times 4 = 3 \times 4 = 12 \;\text{байт}.$$

Заметим, что 12 байт в RLE против 24 байт без сжатия — это ровно вдвое меньше.

---

4. Что делать с «неизвестным» изображением из задачи?

В тексте задачи упоминается «По приведённой ниже картинке…», но сама картинка нам здесь недоступна. Чтобы ответить на вопрос с конкретными числами, нужно знать:

1. Сколько всего пикселей (ширина $\times$ высота) — тогда легко посчитать «сырой» объём $3 \times N$.
2. Сколько подряд идущих одинаковых цветов при обходе, т. е. каково общее число серий $k$ в RLE.

Итоговые формулы:

• Без сжатия: $$\boxed{\,\text{Размер}_{\text{uncompressed}} = 3 \times N\,}$$
• Сжатие RLE: $$\boxed{\,\text{Размер}_{\text{RLE}} = 4 \times k\,}$$

где $k$ — количество «кусков» одинакового цвета.

В самой задаче, скорее всего, нужно было просто подсчитать (по картинке) число серий $k$, а затем умножить на 4. После чего сравнить с $3\times N$.

---

Краткий ответ «по алгоритму»

1. Размер при хранении цвета каждого пикселя
   $\;= 3 \times (\text{число всех пикселей}).$

2. Размер при сжатии RLE
   $\;= 4 \times (\text{количество однородных подряд идущих отрезков}).$

Без конкретных данных о самой картинке точные цифры назвать нельзя, но именно так они рассчитываются в классическом задании.