Алгоритм ФСР ЛОДУ

Ниже описан один из классических подходов к построению фундаментальной системы решений (ФСР) для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) второго порядка. Под «алгоритмом формирования» обычно понимают общий порядок действий, позволяющий найти две линейно независимые функции – решения однородного уравнения, которые в совокупности дают общую решение.

---

1. Постановка задачи

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

$$y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0,$$

где $p(x)$ и $q(x)$ – заданные непрерывные функции (на некотором промежутке), $y = y(x)$ – искомая функция.

Цель – найти фундаментальную систему решений $\{y_1(x),\,y_2(x)\}$. Под этим понимается набор из двух линейно независимых решений уравнения. Затем любое решение можно записать в виде

$$y(x) = C_1\,y_1(x) + C_2\,y_2(x),$$

где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

---

2. Общее решение для случая постоянных коэффициентов

Если $p(x)=a$ и $q(x)=b$ – постоянные, то уравнение имеет вид

$$y'' + a\,y' + b\,y = 0.$$

1. Составляем характеристическое уравнение:

   $$r^2 + a\,r + b = 0.$$

2. Решаем его и получаем корни $r_1$ и $r_2$:

   • Если $r_1 \neq r_2$ – два вещественных разных корня, то ФСР: $$y_1(x) = e^{r_1 x}, \quad y_2(x) = e^{r_2 x}.$$
   • Если $r_1 = r_2 = r$ – один (двойной) вещественный корень, то ФСР: $$y_1(x) = e^{rx}, \quad y_2(x) = x\,e^{rx}.$$
   • Если корни комплексные: $r_{1,2} = \alpha \pm i\beta$, то ФСР (вещественная форма): $$y_1(x) = e^{\alpha x}\cos(\beta x), \quad y_2(x) = e^{\alpha x}\sin(\beta x).$$

3. Общее решение запишется как:

   $$y(x) = C_1\,y_1(x) + C_2\,y_2(x).$$

Это самый быстрый и понятный «алгоритм» для случая постоянных коэффициентов.

---

3. Общий метод при переменных коэффициентах

Для общего второго порядка ЛОДУ

$$y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0,$$

не существует единого универсального «школьного» алгоритма, позволяющего в замкнутой форме найти решения при произвольных $p(x)$ и $q(x)$. Однако, если одна частная (ненулевая) функция $y_1(x)$ решения уравнения каким-то образом найдена (аналитически или из начальных условий/других соображений), то вторую линейно независимую функцию $y_2(x)$ можно отыскать стандартной формулой:

$$y_2(x) \;=\; y_1(x)\,\int \frac{\,\exp\!\Bigl(-\displaystyle\int p(x)\,dx\Bigr)\,} {\bigl[y_1(x)\bigr]^2}\;dx.$$

Алгоритм пошагово

1. Найдите (или предположите) один ненулевой частный решение $y_1(x)$.

   • Иногда $y_1(x)$ удаётся угадать, опираясь на структуру уравнения.
   • В некоторых случаях возможно применение специальных методов (редукция порядка, метод Эйлера при степенных функциях и т. п.).

2. Вычислите функцию

   $$\mu(x) = \exp\!\Bigl(-\int p(x)\,dx\Bigr).$$

   Это так называемый «интегрирующий множитель» (в контексте редукции порядка).

3. Найдите второе решение:

   $$y_2(x) = y_1(x)\,\int \frac{\mu(x)}{\bigl[y_1(x)\bigr]^2}\,dx.$$

4. Убедитесь, что $y_2(x)$ линейно независимо с $y_1(x)$. Обычно это гарантировано формулой, но если $y_1\equiv0$ (что бессмысленно) или если произошли ошибки вычисления, могут быть проблемы.

5. Запишите фундаментальную систему $\{y_1,\,y_2\}$ и, следовательно, общее решение:

   $$y(x) = C_1\,y_1(x) + C_2\,y_2(x).$$

---

4. Дополнительно: метод вариации параметров для неоднородного уравнения

Хотя вопрос был про однородное уравнение, стоит упомянуть, что при решении неоднородного уравнения вида

$$y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = f(x)$$

сначала находят ФСР $\{y_1, y_2\}$ однородного уравнения (как в пунктах выше). Затем решение строят методом вариации параметров или другими известными способами (например, интеграл Дюамеля и др.).

---

5. Краткое резюме «алгоритма ФСР»

1. (Простой случай: постоянные коэффициенты)

   • Запишите характеристическое уравнение.
   • Найдите корни.
   • Постройте две линейно независимые экспоненциальные (или экспоненциально-тригонометрические) функции.
   • Сформируйте общее решение.

2. (Общий случай: переменные коэффициенты)

   • Если возможно, найдите одно решение $y_1(x)$.
   • Используйте формулу редукции порядка для поиска $y_2(x)$.
   • Получите пару $\{y_1, y_2\}$.
   • Общее решение есть их линейная комбинация.

Это и есть базовый алгоритм формирования фундаментальной системы решений ЛОДУ второго порядка.