Ускорение точки на обруче

Calculating acceleration

Mapping circle dynamics

Piecing together center motion

Aligning coordinates

OK, I’m mapping out the centers: large hoop at C, small hoop at O'. The small hoop's radius is R/2, and its center is R/2 from the large hoop's center.

Confirming contact points

Tracking point shifts

Assessing motion dynamics

Determining rotational ratio

Mapping rotational dynamics

Analyzing rotational dynamics

Tracking rotational dynamics

Assessing rotational symmetry

Assessing angular dynamics

Assessing rotational dynamics

Piecing together acceleration

Mapping out relative acceleration

Calculating accelerations

Pulling together key details

Evaluating relative accelerations

Assessing acceleration dynamics

Piecing together angular velocity calculations

Tracing hypocycloid paths

Tracking hypocycloid movement

Tracking movement variables

Tracking hypocycloid movement

Assessing velocity and acceleration

Capturing acceleration dynamics

Tracing acceleration paths

Assessing curvature dynamics

Verifying magnitude accuracy

Pulling together the components

Mapping velocity dynamics

Aligning positional vectors

Integrating insights into acceleration

Verifying acceleration relationship

Thought about ускорение точки на обруче для 1m 22s

Ниже приведено одно из самых коротких и наглядных решений этой задачи. Суть в том, что при соотношении радиусов $R : r = 2 : 1$ (где $r = R/2$) – точка на меньшем обруче, катящемся без проскальзывания внутри большего, описывает отрезок диаметра большого обруча (это известное свойство гипоциклоиды при $R=2r$). В частности, в моменты, когда эта точка совпадает с центром большого обруча, её ускорение оказывается равным просто

где $\varepsilon$ – угловое ускорение (по модулю) меньшего обруча относительно его собственного центра.

Краткое пояснение

1. Геометрия задачи.
   Пусть больший обруч имеет центр в точке $O$ и радиус $R$. Меньший обруч (радиуса $r = R/2$) катится внутри большого без проскальзывания. Центр меньшего обруча (обозначим его $O'$) тогда движется по окружности радиуса $\rho = R - r = R/2$.

2. Соотношение угловых скоростей при качении без проскальзывания.
   При качении без проскальзывания внутри большего обруча угловая скорость $\Omega$ центра $O'$ вокруг $O$ и собственная угловая скорость $\omega$ меньшего обруча связаны условием, что скорость точки касания равна нулю в неподвижной системе отсчёта.

   • Для случая $r = R/2$ получается $\Omega = \omega$ (по модулю).
   • Аналогично для угловых ускорений получаем $\dot{\Omega} = \varepsilon$ (опять же, по модулю).

3. Траектория особой точки на меньшем обруче.
   Рассмотрим точку $P$ на ободе меньшего обруча, которая в некоторый момент совпадает с центром $O$ большого обруча. Известно из теории гипоциклоид, что если $R = 2r$, то такая точка движется по прямой (диаметру большого обруча), совершая колебания от $-R$ до $+R$ вдоль этой прямой.

4. Находжение ускорения в момент прохождения центра большого обруча.
   По формулам для гипоциклоиды (или, что эквивалентно, просто диаметра) легко увидеть, что в момент, когда точка $P$ проходит через $O$, её полная (абсолютная) скорость не равна нулю, но при этом кривизна траектории там равна нулю (ведь это прямая), и потому нормальная (центростремительная) составляющая ускорения у точки исчезает.

   $$\text{Остаётся только касательная составляющая } a_{\tau} = R\,\varepsilon.$$

   Таким образом, в искомый момент

   $$\boxed{a = R\,\varepsilon.}$$

Почему нет члена с $\omega^2$?

Интуитивно может показаться, что должна появиться ещё и компонента $\omega^2 R$ (центростремительная), но в тот момент, когда точка $P$ совпадает с центром большого обруча, «радиус вращения» относительно этого центра мгновенно равен нулю – нет «рычага» для центростремительной составляющей, связанной именно с движением вокруг $O$. Формально же это видно из параметрического описания траектории (или из геометрии прямолинейного движения точки по диаметру): при $x = 0$ слагаемое $\omega^2 R \cos(\theta)$ зануляется из-за $\cos(\pi/2) = 0$.

Таким образом, ответ на задачу прост: ускорение точки на малом обруче, совпадающей в данный момент с центром большого, равно $R\,\varepsilon$ (по модулю).