Темпы прироста ВВП

Erstellt am: 17. Januar 2025

Frage

ЗАДАНИЕ 4. (25 баллов)
В абстрактной вымышленной экономике существуют всего 3 (три) отрасли. Объёмы производства продукции i-ой отраслью для потребления этой продукции j-ой отраслью
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑖 = 1,𝑛 = 3;𝑗 = 1,𝑛 = 3) представлены ниже в Таблице.
Межотраслевые потоки (ден. ед.)
Отрасли 1 2 3
1 20 30 40 2 30 40 50 3 40 50 60
Чистый (условно-чистый) продукт каждой j-ой отрасли соответственно равен:
𝑧1 = 30; 𝑧2 = 40; 𝑧3 = 50 (ден. ед.). В предстоящем периоде прогнозируются следующие темпы прироста конечного продукта каждой i-ой отрасли соответственно:
𝑦̂ = 6,0%; 𝑦̂ = 4,0%; 𝑦̂ = 2,0%. Предполагается, что межотраслевые технологические коэффициенты 123
сохранятся неизменными. ВВП экономики понимается как сумма конечных продуктов всех отраслей.
Задание:
̂ 4.1. Вычислить темп прироста ВВП экономики: [𝑌]
4.2. Вычислить темп прироста валового продукта 1-ой отрасли: [𝑥̂] 1
4.3. Вычислить темп прироста валового продукта 2-ой отрасли: [𝑥̂] 2
4.4. Вычислить темп прироста валового продукта 3-ей отрасли: [𝑥̂] 3
̂ 4.5. Вычислить темп прироста валового продукта всей экономики: [𝑋]

Gedanke

Calculating inter-industry flows

I’m looking at initial inter-industry flows and final demands for three sectors. Growth rates are provided for further analysis.

Assessing input-output dynamics

I’m examining the matrix of inter-industry flows to understand the economy's GDP growth and each sector's output growth rates, given that input coefficients remain constant.

Revisiting production-consumption relations

Clarifying that x_{ij} represents the quantities transferred from industry i to industry j. Each sector's total output incorporates these inputs and their final demand, x_j = sum_i a_{ij} + z_j.

Clarifying notation

OK, let me see. The standard input-output table notation sums across rows to calculate sector output. Each a_{ij} is a fraction of the total output of sector j.

Piecing together the setup

OK, let's clarify: the row matrix indicates sector production, while the column matrix shows sector inputs. The standard approach sums across columns for total output, factoring in final demand.

Interpreting sector dynamics

I’m digging into the direction of flows and final demands. The data might indicate that final demands are tied to sector j, while x_{ij} denotes output from sector i to sector j.

Mapping sector dynamics

I’m refining total output calculations by summing inputs (x_{ij}) and adding final demands (z_i) for each sector. Acknowledge that the matrix layout indicates the direction of flows.

Clarifying sector output

I’m revisiting sector output by summing inputs (x_{ij}) and adding final demands (z_j) for each sector. The matrix setup indicates sector i supplies sector j, with intersections showing specific flows.

Charting sector output

I’m summing input flows (x_{ij}) and adding final demands (z_j) for each sector, calculating total outputs like x1 = x_{11} + x_{21} + x_{31} + z1.

Calculating sector outputs

Piecing together the total outputs for sectors 1, 2, and 3 by summing input flows and final demands. This approach aligns with the standard input-output analysis.

Verifying value-added ratio

OK, let's see. Each sector's inputs sum to 0.75 of the total output, showing a consistent value-added ratio of 0.25, despite varied final demands.

Mapping out GDP growth

I’m gathering info on GDP growth by summing final product growth rates across sectors. With starting final demands at 120, growth rates are 6.0%, 4.0%, and 2.0% respectively.

Calculating GDP growth

I’m thinking through the new GDP by adjusting initial final demands with forecasts, calculating a 4.4-point increase, and rounding to a 3.67% growth rate.

Piecing together

I’m planning to use the Leontief formula to compute the growth rate of each sector's output by solving $x' = (I - A)^{-1} z'$ with the original input coefficients.

Adjusting my approach

I’m calculating input coefficients a_{ij} for each sector to ensure they align with a consistent technology setup, considering fractional values and their sums for validation.

Recalculating precise elements

I’m reworking input coefficients with greater precision in a matrix, defining them in detailed decimal form to ensure accuracy and consistency in sectoral output calculations.

Calculating matrix components

I’m determining elements for the matrix $(I - A)$ by subtracting each element of matrix $A$ from 1, ensuring precision and accuracy for the next steps.

Determining the inverse

I’m planning to find $M^{-1}$ with a 3x3 matrix. This involves row operations and solving for $M^{-1}$ to ensure the growth rates of sector outputs are accurate.

Refining matrix elements

I’m working through the $(I - A)$ matrix, refining each element with more precise fractions like $0.8333$ to $\frac{5}{6}$ , ensuring accuracy for Gaussian elimination.

Refining matrix precision

I’m adjusting matrix elements with fractions, ensuring each precision is maintained for Gaussian elimination. This step-by-step process ensures accuracy throughout the echelon form transformation.

Adjusting matrix elements

I’m tweaking row 1 by multiplying each element by $\frac{6}{5}$ , simplifying the pivot element to 1. This step is crucial for Gaussian elimination.

Focusing on matrix transformation

I’m eliminating elements in the first column using Gaussian elimination, ensuring each row is simplified step-by-step to maintain matrix accuracy. Progress is steady and methodical.

Refining matrix calculations

I’m combining rows and simplifying fractions to zero out elements, ensuring each aspect of the matrix is carefully adjusted for precision and clarity.

Ensuring matrix accuracy

I’m adjusting $M$ 's final form with precise fractions, guaranteeing clarity and rigor throughout. This process confirms the matrix's accuracy and completeness.

Transforming matrices

I’m working through matrix multiplication and fraction reduction to set the pivot element to 1. This method ensures precision and progression.

Revisiting matrix rows

OK, let me see. Transforming matrix rows by adding multiples of other rows to clear columns, ensuring the matrix is correctly formatted for Gaussian elimination. Precision is key.

Combining terms

I’m piecing together fractions and decimals for the third column of row 1, ensuring clarity and precision while sticking to common denominators. This approach keeps the calculations honest.

Balancing fractions

I’m pulling together elements for the right side of row 1, working out common denominators and adding fractions like $\frac{6}{5} + \frac{18}{185}$ . Progress is steady.

Balancing fraction elements

I’m organizing fractions for the right side of row 1, pinpointing common denominators and simplifying expressions like $\frac{240}{185}$ and $\frac{12}{37}$ . Progress is steady.

Refining my approach

Piecing together the third column for R3, I’m combining and simplifying fractions like -961/5550 and 3441/5550 to reach a comprehensive, reduced form. Progress is steady and methodical.

Pulling together fractions

Combining fractions for R3's right side, I simplify terms like 2/5 and 31/185, reaching a cohesive and precise fraction of 21/37. This clear approach enhances clarity.

Gathering insights

I’m mapping out the final adjustments for R3's third column, refining fractions like 248/555 and multiplying by 555/248 to simplify and set the pivot element to 1. Progress is steady and precise.

Verifying numeric precision

I’m mapping out the final matrix elements using approximate decimals. This ensures the precision and accuracy needed for further matrix back-substitution.

Correcting matrix errors

Piecing together details for matrix back-substitution, I adjust R2 using precise fractions and decimals, ensuring the calculations are clear and accurate for the next steps.

Mapping out precise adjustments

I’m adding fractions and modifying R1's right side, rounding for better clarity, and preparing for matrix back-substitution with a clear, organized matrix.

Synthesizing output

I’m piecing together sectoral output growth rates by multiplying the inverse matrix $(I - A)^{-1}$ by updated final demands. This method ensures a comprehensive analysis.

Mapping sectoral growth

OK, let me see. I’m comparing the new sectoral outputs $x'$ to their initial values, ensuring progress and a solid framework for future analysis.

Analyzing growth consistency

I’m comparing sectoral growth rates with total output and GDP growth, ensuring they align closely around 3.66% or 3.67%. This shows sustained progress in the economy.

Thought about экономический рост и межотраслевые потоки for 2m 44s

Antwort

Ниже приведён подробный разбор решения. Для удобства все расчёты проведены в десятичных приближениях, однако при желании можно работать и с обобщёнными дробями для большей точности.

1. Исходные данные

Имеется три отрасли. Матрица межотраслевых поставок (в ден. ед.) такова (строка $i$ — поставщик, столбец $j$ — потребитель):

\begin{pmatrix} 20 & 30 & 40\\ 30 & 40 & 50\\ 40 & 50 & 60 \end{pmatrix}

Обозначим через $x_{ij}$ элемент в $i$ -й строке и $j$ -м столбце, то есть выпуск отрасли $i$ , потребляемый отраслью $j$ .

Чистый (конечный) продукт отраслей (в тех же единицах), соответствующий каждому столбцу $j$ , равен:

z_1=30,\quad z_2=40,\quad z_3=50.

Таким образом, полный выпуск (валовой продукт) $x_j$ каждой $j$ -й отрасли определяется как сумма ресурсов, идущих в отрасль $j$ из всех отраслей $i$ (то есть сумма по столбцу $j$ ) плюс её конечный продукт $z_j$ :

x_j \;=\;\sum_{i=1}^{3} x_{ij}\;+\;z_j.

Посчитаем текущие $x_j$ :

Для отрасли 1 (столбец 1): $x_1 = x_{1,1} + x_{2,1} + x_{3,1} + z_1 = 20 + 30 + 40 + 30 = 120.$
Для отрасли 2 (столбец 2): $x_2 = 30 + 40 + 50 + 40 = 160.$
Для отрасли 3 (столбец 3): $x_3 = 40 + 50 + 60 + 50 = 200.$

Таким образом,

x = \begin{pmatrix} x_1\\[6pt] x_2\\[6pt] x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 120\\ 160\\ 200 \end{pmatrix}.

Суммарный ВВП (по определению из условия — сумма конечных продуктов) в исходной точке:

Y = z_1 + z_2 + z_3 = 30 + 40 + 50 = 120.

2. Матрица технологических коэффициентов

Пусть $A$ — матрица коэффициентов прямых затрат Леонтьева, где элемент $a_{ij} = \dfrac{x_{ij}}{x_j}$ . Поскольку $x_{ij}$ — выпуск $i$ -й отрасли, пошедший в $j$ -ю (а $x_j$ — общий выпуск $j$ -й), то для каждого столбца $j$ :

Столбец $j=1$ : общий выпуск $x_1=120$ . $a_{1,1} = \frac{20}{120}=0{,}1667,\quad a_{2,1} = \frac{30}{120}=0{,}25,\quad a_{3,1} = \frac{40}{120}=0{,}3333.$
Столбец $j=2$ : $x_2=160$ . $a_{1,2} = \frac{30}{160}=0{,}1875,\quad a_{2,2} = \frac{40}{160}=0{,}25,\quad a_{3,2} = \frac{50}{160}=0{,}3125.$
Столбец $j=3$ : $x_3=200$ . $a_{1,3} = \frac{40}{200}=0{,}20,\quad a_{2,3} = \frac{50}{200}=0{,}25,\quad a_{3,3} = \frac{60}{200}=0{,}30.$

Итого матрица $A$ (строка $i$ , столбец $j$ ):

A = \begin{pmatrix} 0{,}1667 & 0{,}1875 & 0{,}20 \\ 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}25 \\ 0{,}3333 & 0{,}3125 & 0{,}30 \end{pmatrix}.

3. Прогнозные темпы прироста конечного спроса

По условию задачи, конечные продукты $z_1,z_2,z_3$ (то есть «спрос» на продукцию каждой отрасли со стороны конечных потребителей) возрастут в следующем периоде на

\hat y_1 = 6\%\quad (\text{т.\,е. }1{,}06), \quad \hat y_2 = 4\%\quad (\text{т.\,е. }1{,}04), \quad \hat y_3 = 2\%\quad (\text{т.\,е. }1{,}02).

Тогда новые значения конечных продуктов будут:

z'_1 = z_1 \times (1+0{,}06)=30 \times 1{,}06=31{,}8,

z'_2 = 40 \times 1{,}04=41{,}6,

z'_3 = 50 \times 1{,}02=51{,}0.

3.1. Новый ВВП и его темп прироста

Новый ВВП (сумма конечных продуктов) равен

Y' = z'_1 + z'_2 + z'_3 \;=\; 31{,}8 \;+\; 41{,}6 \;+\; 51{,}0 \;=\; 124{,}4.

Старое значение $Y=120$ . Тогда темп прироста ВВП:

\widehat{Y} \,=\, \frac{Y' - Y}{Y} \times 100\% \,=\, \frac{124{,}4 - 120}{120}\times 100\% \,=\, 3{,}67\%.

Это отвечает пункту 4.1 в задаче.

4. Определение нового выпуска по отраслям $x'_1,x'_2,x'_3$

Новые валовые выпуски отраслей $\mathbf{x}'$ всегда находятся из уравнения Леонтьева:

\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x}' \;+\; \mathbf{z}', \quad\text{или}\quad (I - A)\,\mathbf{x}' = \mathbf{z}'.

Отсюда

\mathbf{x}' = (I - A)^{-1}\,\mathbf{z}'.

4.1. Матрица $(I - A)$

Единичная матрица $I$ размером $3\times 3$ минус $A$ даёт:

I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \;-\; \begin{pmatrix} 0{,}1667 & 0{,}1875 & 0{,}20\\ 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}25\\ 0{,}3333 & 0{,}3125 & 0{,}30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8333 & -0{,}1875 & -0{,}20\\ -0{,}25 & 0{,}75 & -0{,}25\\ -0{,}3333& -0{,}3125 & 0{,}70 \end{pmatrix}.

4.2. Обратная матрица $\,(I - A)^{-1}$

Далее требуется найти обратную матрицу. Это можно сделать либо методом алгебраических дополнений, либо (часто удобнее) путём последовательных операций Гаусса. В численном приближении получается (округляя до 4–5 знаков):

(I - A)^{-1}\;\approx\; \begin{pmatrix} 1{,}7294 & 0{,}7493 & 0{,}7609\\ 1{,}0013 & 2{,}0000 & 1{,}0000\\ 1{,}2709 & 1{,}2499 & 2{,}2379 \end{pmatrix}.

4.3. Перемножение $(I - A)^{-1} \mathbf{z}'$

Новая конечная потребность $\mathbf{z}' = (31{,}8,\;41{,}6,\;51{,}0)$ . Тогда

\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 1{,}7294 & 0{,}7493 & 0{,}7609\\ 1{,}0013 & 2{,}0000 & 1{,}0000\\ 1{,}2709 & 1{,}2499 & 2{,}2379 \end{pmatrix} \;\times\; \begin{pmatrix} 31{,}8\\ 41{,}6\\ 51{,}0 \end{pmatrix}.

Выполним поэлементно:

$x'_1$ (первая строка умножить на $\mathbf{z}'$ ):

x'_1 \approx 1{,}7294\times 31{,}8 \;+\; 0{,}7493\times 41{,}6 \;+\; 0{,}7609\times 51{,}0 \;\approx\; 124{,}97.

$x'_2$ (вторая строка):

x'_2 \approx 1{,}0013\times 31{,}8 \;+\; 2{,}0000\times 41{,}6 \;+\; 1{,}0000\times 51{,}0 \;\approx\; 166{,}04.

$x'_3$ (третья строка):

x'_3 \approx 1{,}2709\times 31{,}8 \;+\; 1{,}2499\times 41{,}6 \;+\; 2{,}2379\times 51{,}0 \;\approx\; 206{,}54.

Итого вектор новых выпусков:

\mathbf{x}' \approx (124{,}97,\;166{,}04,\;206{,}54).

Старый вектор $\mathbf{x} = (120,\;160,\;200)$ .

5. Темпы прироста по пунктам задания

Темп прироста ВВП (п. 4.1).
Мы уже нашли:
$\widehat{Y} \;=\; \frac{124{,}4 - 120}{120} \times 100\% \;\approx\; 3{,}67\%.$
Темпы прироста валового продукта по отраслям (пп. 4.2–4.4).
- Для первой отрасли:
  $x'_1 \approx 124{,}97,\quad x_1=120.$ $\widehat{x_1} \;=\; \frac{124{,}97 - 120}{120}\times 100\% \;\approx\; 4{,}14\%.$
- Для второй отрасли:
  $x'_2 \approx 166{,}04,\quad x_2=160.$ $\widehat{x_2} \;=\; \frac{166{,}04 - 160}{160}\times 100\% \;\approx\; 3{,}78\%.$
- Для третьей отрасли:
  $x'_3 \approx 206{,}54,\quad x_3=200.$ $\widehat{x_3} \;=\; \frac{206{,}54 - 200}{200}\times 100\% \;\approx\; 3{,}27\%.$
Темп прироста суммарного валового продукта экономики (п. 4.5).

Старый суммарный выпуск:
$X = x_1 + x_2 + x_3 = 120 + 160 + 200 = 480.$
Новый:
$X' = x'_1 + x'_2 + x'_3 \;\approx\; 124{,}97 + 166{,}04 + 206{,}54 = 497{,}55.$ $\widehat{X} \;=\; \frac{497{,}55 - 480}{480}\times 100\% \;\approx\; 3{,}66\%.$

Итоговые ответы

$\displaystyle \widehat{Y}\approx 3{,}67\%$ — темп прироста совокупного конечного продукта (ВВП).
$\displaystyle \widehat{x_1}\approx 4{,}14\%$ .
$\displaystyle \widehat{x_2}\approx 3{,}78\%$ .
$\displaystyle \widehat{x_3}\approx 3{,}27\%$ .
$\displaystyle \widehat{X}\approx 3{,}66\%$ — темп прироста совокупного валового продукта трёх отраслей.

При небольших изменениях в округлениях числа могут выходить как $4{,}1\%$ , $3{,}8\%$ , $3{,}3\%$ и т. д. Основной смысл от этого не меняется.