Решение тригонометрического уравнения

Breaking down the equation

I’m using trigonometric identities to simplify the equation. Substituting $\sin(2x)$ and $\cos(2x)$, the equation becomes $2 \sin x \cos x + (\cos^2 x - \sin^2 x) + \sin x + \cos x + 1$.

Simplifying with identities

I’m using angle addition formulas to rewrite $\sin(2x) + \cos(2x)$ as $\sqrt{2}\sin(2x + \pi/4)$ and $\sin(x) + \cos(x)$ as $\sqrt{2}\sin(x + \pi/4)$.

Transforming the equation

I’m using trigonometric identities to transform the equation into $2\sqrt{2} \sin\left(\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -1$.

Rewriting and simplifying

I'm reworking the expression by defining $u = \sin x + \cos x$ and leveraging identity transformations to express the equation in terms of $\sin x + \cos x$.

Formulating a new strategy

I’m mapping out strategies to express $\sin(2x) + \cos(2x)$ in terms of $\sin x + \cos x$, such as defining new variables $u$ and $v$.

Combining terms

I’m consolidating $\sin(2x + \pi/4)$ and $\sin(x + \pi/4)$ using trigonometric identities, leading to $\sin\left(\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Ensuring consistency

I’m mapping out the equation with $\sin\left(\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ to verify it aligns with the original equation.

Refining the approach

I’m considering simplifying the equation by substituting $u = \sin x + \cos x$. This method will help express everything in terms of $u$.

Piecing together

I’m pulling together expressions for $2 \sin x \cos x$ and $\cos^2 x - \sin^2 x$ using $u$ and $v$ to find common terms and simplify the equation further.

Reworking identities

I’m re-examining the identity $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$ and expressing it through $u$ and $v$ to find common terms for further simplification.

Translating the equation

I’m translating the equation into terms of $u$ and $v$ to express $\sin(2x) + \cos(2x)$ as $(u^2 - 1) + uv$, aiming for further simplification.

Piecing it together

I’ve figured out how to express $u^2 + uv + u = 0$ and found $v = \pm \sqrt{2 - u^2}$.

Evaluating solutions

First, I’m setting $u = 0$ and seeing if $\sin x + \cos x = 0$ works. Then, I’m checking that against the original equation to confirm its validity.

Mapping out solutions

I’m figuring out two solution sets: $x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$ and $\cos x = -\frac{1}{2}$ leading to $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$.

Examining solution constraints

I’m verifying the solutions are consistent with the original equation, ensuring no constraints were overlooked, particularly for $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Verifying consistency

I’m making sure that $\cos x = -\frac{1}{2}$ and corresponding $\sin x$ values fit with the original equation, checking solutions like $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$.

Ensuring solution clarity

I’m refining the solution set to $x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$ and $x = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ or $x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ for clarity.

Thought about solving trigonometric equation for 1m 23s

Решение уравнения

Шаг 1. Упрощение с помощью замен

Для удобства введём одну вспомогательную переменную

Тогда:

1. $\sin x + \cos x = u.$
2. $\sin(2x) = 2\,\sin x\,\cos x.$
3. $\cos(2x) = \cos^2 x \;-\;\sin^2 x.$

Обратим внимание, что

Отсюда

Также

Введём ещё

Тогда произведение

Шаг 2. Выражение $\sin(2x) + \cos(2x)$ через $u$ и $v$

Имеем

Таким образом левая часть исходного уравнения

превращается в

Сгруппируем:

Итого получаем

Вынесем $u$ за скобку:

Значит, либо

1. $u = 0,$
2. $u + v + 1 = 0.$

Рассмотрим эти случаи по отдельности.

Шаг 3. Случай $u = 0$

Поделив (где это допустимо) на $\cos x$, получим

Основное решение уравнения $\tan x = -1$ есть

(Эквивалентно можно было бы записать $x = \tfrac{3\pi}{4} + n\pi$, это одно и то же семейство корней.)

Шаг 4. Случай $u + v + 1 = 0$

Здесь $\sin x$ сократятся:

Решения уравнения $\cos x = -\tfrac12$ на основной периоде $0 \le x < 2\pi$ суть

С учётом периодичности косинуса (период $2\pi$) общее решение:

Итоговый ответ

Все решения исходного уравнения

даются объединением следующих семейств:

1. $\displaystyle x = -\tfrac{\pi}{4} + n\pi,\quad n\in \mathbb{Z};$
2. $\displaystyle x = \tfrac{2\pi}{3} + 2n\pi,\quad n\in \mathbb{Z};$
3. $\displaystyle x = \tfrac{4\pi}{3} + 2n\pi,\quad n\in \mathbb{Z}.$

На практике их часто записывают в таком виде: