Nhiệt lượng khí lý tưởng

Erstellt am: 1. Januar 2025

Frage

Một bình kín hình trụ nằm ngang có chiều dài 2l được chia thành hai phần bằng nhau bởi một pit - tông mỏng, cách nhiệt. Mỗi phần có chứa n (mol) khí lí tưởng đơn nguyên tử ở nhiệt độ T.
Pit - tông được nối theo phương ngang với các mặt đáy bình bằng các lò xo có độ cứng k và ban đầu chưa biến dạng (hình bên). Khi nhiệt lượng Q được truyền cho khí ở ngăn phải thì pit - tông dịch chuyển một đoạn x = l/3. Hãy xác định nhiệt lượng Q' do khí ở ngăn trái tỏa ra, biết ngăn trái vẫn giữ nguyên nhiệt độ T vì có một nguồn điều nhiệt gắn vào ngăn trái trong suốt quá trình.

Gedanke

Mengamati sistem

Saya memvisualisasikan ruang silinder dengan pemisah dan pegas, serta perubahan piston setelah memasok panas ke sisi kanan.

Mengamati gerakan piston

Jika pemanas diberikan ke sisi kanan, tekanan naik, yang mendorong piston ke kiri. Kita melihat aksinya dan menentukan seberapa banyak panas yang harus dikeluarkan oleh sisi kiri untuk menjaga suhu T.

Menilai perubahan volume

Saya sedang menganalisis perubahan_volume sisi kiri dan kanan setelah pemanasan di sisi kanan, dengan asumsi gerakan piston adiabatik dan kontak termal dengan reservoir di sisi kiri.

Menyusun volume akhir

Dua volume tersebut sekarang adalah $\frac{2}{3} A l$ untuk sisi kiri dan $\frac{4}{3} A l$ untuk sisi kanan, sesuai dengan perubahan panjang kompartemen yang tertekan oleh pegas.

Mengamati perubahan

Pegas di sisi kiri terkompresi oleh $x$ ketika piston bergerak ke kiri, sementara pegas di sisi kanan tertarik oleh $x$ . Perubahan panjang ini memengaruhi gaya yang dihasilkan oleh pegas.

Mengamati keseimbangan

Saya memeriksa bahwa gaya dari pegas lintas tekanan gas harus seimbang untuk mencapai keseimbangan. Hasilnya, gaya total dari pegas adalah nol.

Mengurai keseimbangan

Saya melihat bahwa tidak ada gaya pegas netto pada piston. Oleh karena itu, tekanan gas pada kedua sisi harus seimbang, yang menunjukkan $P_L = P_R$ .

Memetakan tekanan

Saya memerhatikan bahwa tekanan di kedua sisi sama, $P_L = P_R$ , dan volume serta tekanan akhir dapat dihitung menggunakan hukum gas ideal.

Menghitung tekanan

Saya menemukan bahwa tekanan akhir di kedua sisi adalah $\frac{3}{2} P_0$ , dan volume akhir sisi kanan adalah $\frac{4}{3} A l$ menggunakan hukum gas ideal.

Menentukan suhu akhir

Saya menemukan bahwa suhu akhir di sisi kanan adalah $2T$ setelah menggantikan nilai tekanan dan volume akhir menggunakan hukum gas ideal.

Mengurangi volume

Saya menemukan bahwa volume sisi kiri berkurang dari $A l$ menjadi $\frac{2}{3} A l$ , yang membutuhkan pelepasan panas sebesar $Q'$ .

Menghitung pelepasan panas

Saya menghitung pelepasan panas oleh sisi kiri menggunakan $Q' = n R T \ln( (2/3) Al / (Al) )$ , yang menghasilkan nilai negatif karena pelepasan panas.

Mengubah nilai

Saya positifkan nilai negatif dari $\ln(2/3)$ menjadi $\ln(3/2)$ untuk mendapatkan besaran panas yang lebih akurat dalam konteks ini.

Menentukan besaran panas

Saya menyimpulkan bahwa "tỏa ra" dalam konteks ini mengarah pada besaran panas, sehingga menganalisis kerja yang dilakukan oleh pegas tidak diperlukan.

Mencari perubahan energi

Saya menemukan bahwa perubahan energi dalam untuk gas monatom ideal adalah nol karena suhu dan jumlah gas tetap. Hasilnya, pelepasan panas adalah $Q' = n R T \ln(V_f / V_i)$ .

Mengevaluasi nilai panas

Saya menemukan bahwa nilai absolut dari panas yang dilepaskan adalah $Q' = n R T \ln(3/2)$ , sedangkan tanda negatif mengindikasikan pelepasan panas dari gas.

Thought about nhiệt lượng và đổi nhiệt cho 59 giây

Antwort

Phân tích tóm tắt bài toán

Ta có một bình trụ ngang dài $2l$ , chia đôi bởi một pít-tông mỏng cách nhiệt. Mỗi ngăn chứa $n$ mol khí lý tưởng đơn nguyên tử ở nhiệt độ ban đầu $T$ .
Pít-tông được giữ bởi hai lò xo (độ cứng $k$ ) nối với hai đáy của bình, ban đầu không biến dạng.
Truyền nhiệt lượng $Q$ cho khí ở ngăn phải, pít-tông dịch chuyển một đoạn $x = \tfrac{l}{3}$ .
Ngăn trái có gắn nguồn điều nhiệt nên luôn giữ ở nhiệt độ $T$ . Trong quá trình, ngăn trái bị nén đẳng nhiệt (vì T không đổi).
Yêu cầu: Tính nhiệt lượng $Q'$ do khí ở ngăn trái toả ra trong quá trình này.

1. Trạng thái ban đầu

Mỗi ngăn dài $l$ , tiết diện bình là $A$ (không đổi).
Thể tích ban đầu mỗi ngăn:

V_0 = A \cdot l.

Số mol khí mỗi ngăn: $n$ .
Nhiệt độ ban đầu mỗi ngăn: $T$ .
Áp suất ban đầu mỗi ngăn (giả sử là $P_0$ ) được tính theo phương trình trạng thái khí lý tưởng:

P_0 = \frac{n R T}{V_0} \;=\; \frac{n R T}{A l}.

Hai lò xo ban đầu không biến dạng, nên lực đàn hồi tác dụng lên pít-tông bằng không.

2. Trạng thái cuối

Sau khi cấp nhiệt $Q$ cho ngăn phải, pít-tông dời đi một đoạn $x = \tfrac{l}{3}$ . Giả sử pít-tông dời về phía trái (đúng với trực giác: ngăn phải nóng hơn, giãn nở đẩy pít-tông sang trái).

Thể tích ngăn trái lúc cuối:

V_{\text{trái,c}} \;=\; A\,(l - x) \;=\; A\!\bigl(l - \tfrac{l}{3}\bigr) \;=\; \tfrac{2}{3}\,A\,l.

Thể tích ngăn phải lúc cuối:

V_{\text{phải,c}} \;=\; A\,(l + x) \;=\; A\!\bigl(l + \tfrac{l}{3}\bigr) \;=\; \tfrac{4}{3}\,A\,l.

Vì pít-tông mỏng và cách nhiệt, không có truyền nhiệt trực tiếp giữa hai ngăn. Lò xo hai bên có độ cứng như nhau và ban đầu không biến dạng, nên ở vị trí cân bằng cuối, lực đàn hồi hai bên bằng nhau và triệt tiêu nhau. Điều này dẫn đến áp suất hai ngăn phải bằng nhau:

P_{\text{trái,c}} \;=\; P_{\text{phải,c}}.

2.1. Thông số ngăn trái ở trạng thái cuối

Ngăn trái nối với nguồn điều nhiệt ở $T$ , nên quá trình của ngăn trái là đẳng nhiệt ở nhiệt độ $T$ .

Phương trình trạng thái cho ngăn trái (lúc cuối):

P_{\text{trái,c}}\,V_{\text{trái,c}} \;=\; n\,R\,T.

Thay $V_{\text{trái,c}} = \tfrac{2}{3} A l$ ta được

P_{\text{trái,c}} = \frac{n R T}{\tfrac{2}{3}A l} = \frac{3}{2}\,\frac{n R T}{A l} = \frac{3}{2}\,P_0.

2.2. Thông số ngăn phải ở trạng thái cuối

Vì $P_{\text{phải,c}} = P_{\text{trái,c}} = \tfrac{3}{2}P_0$ và $V_{\text{phải,c}} = \tfrac{4}{3}A l$ , nên nhiệt độ cuối của ngăn phải:

T_{\text{phải,c}} = \frac{P_{\text{phải,c}}\;V_{\text{phải,c}}}{n R} = \frac{\bigl(\tfrac{3}{2}P_0\bigr)\;\bigl(\tfrac{4}{3}A l\bigr)}{n R}.

Nhớ rằng $\displaystyle P_0 = \frac{n R T}{A l},$ thay vào ta được:

T_{\text{phải,c}} = \frac{\tfrac{3}{2}\,\bigl(\frac{n R T}{A l}\bigr)\,\tfrac{4}{3}\,(A l)}{n R} = 2\,T.

(Khí ở ngăn phải nóng lên gấp đôi nhiệt độ ban đầu.)

3. Tính nhiệt lượng $Q'$ do ngăn trái toả ra

Do ngăn trái biến đổi đẳng nhiệt ở nhiệt độ $T$ , từ thể tích ban đầu $V_0 = A\,l$ về thể tích cuối $\tfrac{2}{3}A\,l$ .

$\Delta U_{\text{trái}} = 0$ (vì khí lý tưởng, quá trình đẳng nhiệt $\implies$ nội năng không đổi).
Theo nguyên lý I Nhiệt động học:

Q'_{\text{trái}} \;=\; \Delta U_{\text{trái}} \;+\; W_{\text{trái}},

nhưng $\Delta U_{\text{trái}}=0$ , nên

Q'_{\text{trái}} \;=\; W_{\text{trái}}.

Công mà khí thực hiện (hoặc công nhận được) trong quá trình đẳng nhiệt được tính bằng:

W_{\text{trái}} = n R T \,\ln\!\Bigl(\frac{V_{\text{cuối}}}{V_{\text{đầu}}}\Bigr).

Ở đây,

V_{\text{đầu}} = A l,\quad V_{\text{cuối}} = \tfrac{2}{3}\,A l.

Vậy

W_{\text{trái}} = n R T \,\ln\!\Bigl(\frac{\tfrac{2}{3}A l}{A l}\Bigr) = n R T \,\ln\!\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr).

Vì $\ln\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) < 0$ , ta thấy $W_{\text{trái}}$ âm, nghĩa là công do môi trường (pít-tông + lò xo + ngăn phải) thực hiện lên khí trái. Đồng thời, $\displaystyle Q'_{\text{trái}} = W_{\text{trái}}$ cũng âm (nhìn từ phía khí). Nói cách khác, khí ở ngăn trái toả ra một nhiệt lượng bằng $-Q'_{\text{trái}}$ .

Nếu đề bài yêu cầu giá trị “nhiệt lượng toả ra” (thường hiểu là đại lượng dương thể hiện phần nhiệt mà khí mất đi), ta lấy độ lớn:

\boxed{\,Q' = \bigl|\,Q'_{\text{trái}}\bigr| = n R T \,\Bigl|\ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\Bigr| = n R T \,\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).\!}

(Nếu bài viết $Q'$ “do khí toả ra” và coi đó là số dương, ta thường sẽ ghi dưới dạng $nRT\ln(\tfrac{3}{2})$ .)

4. Kết luận

Nhiệt lượng $Q'$ mà ngăn trái toả ra (tính theo giá trị dương) là

\boxed{Q' \;=\; n\,R\,T\,\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr). }