Теплота и работа газа

Ниже приведён разбор задачи по шагам. Сразу отметим главное: в задаче нужно найти отношение

$$\beta \;=\; \frac{V_{1}}{V_{2}} \quad \bigl(\text{причём по условию ещё и }\,\frac{V_{2}}{V_{3}} = \beta\bigr).$$

В итоге получится, что

$$\boxed{\beta \;=\; \frac{3}{2}}.$$

---

1. Дано в условии

1. Имеем 1 моль одноатомного идеального газа.
2. Сжатие идёт в два этапа:
   • Участок $1\to 2$ — изобарический ( $P=\text{const}$ ).
   • Участок $2\to 3$ — давление линейно зависит от объёма (прямолинейный график $P(V)$ на диаграмме).
3. Выполнены соотношения $$\frac{V_{1}}{V_{2}} \;=\; \frac{V_{2}}{V_{3}} \;=\; \beta, \qquad T_{2} \;=\; T_{3}.$$
4. Количество теплоты, отведённое от газа (то есть «вышедшее» из газа) на участке $1\to 2$, в 3 раза больше работы сжатия, совершённой над газом на участке $2\to 3$: $$Q_{1\to 2,\;\text{отв}} \;=\; 3\,A_{2\to 3}.$$
5. Требуется найти $\beta$.

Ниже последовательно найдём:

• Отведённую теплоту на участке $1\to 2$.
• Работу внешних сил (работу сжатия) на участке $2\to 3$.
• Составим уравнение из условия $Q_{1\to 2,\;\text{отв}} = 3\,A_{2\to 3}$ и решим его на $\beta$.

---

2. Теплота на участке $1\to 2$ (изобарическое сжатие)

2.1. Температуры $T_1$ и $T_2$

Из уравнения состояния $PV = RT$ и того, что $P=\text{const}$ на участке $1\to 2$, следует:

$$\frac{T_{1}}{V_{1}} \;=\; \frac{T_{2}}{V_{2}} \;\;\Longrightarrow\;\; T_{2} \;=\; T_{1}\,\frac{V_{2}}{V_{1}} \;=\; \frac{T_{1}}{\beta}.$$

(Ведь $\beta = V_{1}/V_{2}$.)

2.2. Формула для $Q_{1\to 2}$

Для 1 моль одноатомного газа:

$$C_{P} \;=\; \frac{5}{2}\,R.$$

Теплота при изобарическом процессе:

$$Q_{1\to 2} \;=\; n\,C_{P}\,\bigl(T_{2}-T_{1}\bigr) \;=\; 1 \;\times\; \frac{5}{2}\,R \;\times\; \bigl(T_{2}-T_{1}\bigr) \;=\; \frac{5R}{2}\,\bigl(T_{2}-T_{1}\bigr).$$

Подставляя $T_{2} = T_{1}/\beta$:

$$T_{2}-T_{1} \;=\; T_{1} \Bigl( \tfrac{1}{\beta} - 1 \Bigr) \;=\; T_{1}\,\frac{1-\beta}{\beta}.$$

Следовательно,

$$Q_{1\to 2} \;=\; \frac{5R}{2}\,\, T_{1}\,\frac{1-\beta}{\beta}.$$

Поскольку при сжатии ($\beta>1$) температура конечная $T_2$ меньше начальной $T_1$, получаем $T_{2}-T_{1}<0$, и потому

$$Q_{1\to 2} < 0 \quad (\text{газ отдаёт тепло}).$$

Чаще всего в задаче под $Q_{1\to 2,\;\text{отв}}$ понимают модуль отведённого тепла (то есть положительное число), тогда

$$Q_{1\to 2,\;\text{отв}} \;=\; -\,Q_{1\to 2} \;=\; -\, \frac{5R}{2}\,\, T_{1}\,\frac{1-\beta}{\beta}.$$

Удобно сразу переписать через $T_{2}$: ведь $T_{1} = \beta\,T_{2}$. Тогда

$$Q_{1\to 2,\;\text{отв}} \;=\; -\, \frac{5R}{2} \;\bigl[\beta\,T_{2}\bigr]\, \frac{1-\beta}{\beta} \;=\; \frac{5R}{2}\,\, T_{2}\,\bigl(\beta-1\bigr),$$

что короче и нагляднее:

$$\boxed{ Q_{1\to 2,\;\text{отв}} \;=\; \frac{5R}{2}\,T_{2}\,(\beta-1). }$$

(Здесь $\beta>1$, так что $\beta-1>0$.)

---

3. Работа сжатия на участке $2\to 3$

3.1. Условие $T_2 = T_3$

На участке $2\to 3$ сказано, что в конце процесса температура вернулась к тому же значению:

$$T_{3} = T_{2}.$$

Тогда из уравнения состояния для 1 моля ($P\,V = R\,T$) имеем:

$$P_{2}\,V_{2} = R\,T_{2}, \quad P_{3}\,V_{3} = R\,T_{3} = R\,T_{2}.$$

Отсюда

$$P_{2}\,V_{2} \;=\; P_{3}\,V_{3}.$$

Но $V_{3} = \tfrac{V_{2}}{\beta}$. Значит

$$P_{3} \;=\; P_{2}\,\frac{V_{2}}{V_{3}} \;=\; P_{2}\,\beta.$$

3.2. Линейная зависимость $P(V)$

По условию график $P(V)$ от $V_2$ до $V_3$ — прямая. При линейном ходе давление от $P_2$ до $P_3$ работа при сжатии (то есть работа внешних сил над газом) равна «площади трапеции» на $P\!-\!V$ диаграмме:

$$A_{2\to 3} \;=\; \int\limits_{V_{2}}^{V_{3}} P\,dV$$

с учётом того, что $V_3<V_2$ и мы ищем работу внешних сил (по модулю). Удобно сразу написать «как площадь трапеции», но взять $V_{2}-V_{3}$ положительным:

$$A_{2\to 3} \;=\; \dfrac{(P_{2} + P_{3})}{2}\,\bigl(V_{2} - V_{3}\bigr).$$

Подставим $P_{2} = \tfrac{R\,T_{2}}{V_{2}}$ и $P_{3} = \tfrac{R\,T_{2}}{V_{3}}$:

$$P_{2}+P_{3} \;=\; \frac{R\,T_{2}}{V_{2}} \;+\; \frac{R\,T_{2}}{V_{3}} \;=\; R\,T_{2} \Bigl( \tfrac{1}{V_{2}} + \tfrac{1}{V_{3}} \Bigr) \;=\; R\,T_{2}\,\frac{V_{2}+V_{3}}{V_{2}\,V_{3}}.$$

Тогда

$$A_{2\to 3} = \dfrac{1}{2} \Bigl[ R\,T_{2}\,\frac{V_{2}+V_{3}}{V_{2}\,V_{3}} \Bigr] \, \bigl(V_{2}-V_{3}\bigr).$$

С учётом $V_{3} = \tfrac{V_{2}}{\beta}$ несложно алгебраически упростить и получить удобную форму. В частности, получается:

$$A_{2\to 3} \;=\; \frac{R\,T_{2}}{2} \Bigl(\beta - \frac{1}{\beta}\Bigr).$$

(Это самый компактный вид.)

---

4. Условие $Q_{1\to 2,\;\text{отв}} = 3\,A_{2\to 3}$

Из п.2.2 мы имеем

$$Q_{1\to 2,\;\text{отв}} \;=\; \frac{5R}{2}\,T_{2}\,(\beta-1),$$

а из п.3.2

$$A_{2\to 3} \;=\; \frac{R\,T_{2}}{2} \Bigl(\beta - \tfrac{1}{\beta}\Bigr).$$

По условию:

$$Q_{1\to 2,\;\text{отв}} \;=\; 3\,A_{2\to 3}.$$

Подставляя формулы:

$$\frac{5R}{2}\,T_{2}\,(\beta-1) \;=\; 3 \;\times\; \frac{R\,T_{2}}{2} \Bigl(\beta - \tfrac{1}{\beta}\Bigr).$$

Сокращая общий множитель $\tfrac{R\,T_{2}}{2}$, получаем:

$$5\,(\beta - 1) \;=\; 3 \Bigl(\beta - \tfrac{1}{\beta}\Bigr).$$

Раскроем скобки и соберём в стандартный вид:

$$5\beta - 5 \;=\; 3\beta \;-\; \frac{3}{\beta}.$$

Перенесём члены:

$$(5\beta - 3\beta) \;=\; 5 - \frac{3}{\beta} \;\;\Longrightarrow\;\; 2\,\beta \;=\; 5 \;-\; \frac{3}{\beta}.$$

Умножим на $\beta$:

$$2\,\beta^{2} \;=\; 5\,\beta \;-\; 3.$$

Получили квадратное уравнение:

$$2\,\beta^{2} \;-\; 5\,\beta \;+\; 3 \;=\; 0.$$

Оно легко факторизуется:

$$(2\beta - 3)\,(\beta - 1) \;=\; 0.$$

Следовательно,

• $\beta = \tfrac{3}{2}$ или
• $\beta = 1$.

Но $\beta=1$ означало бы $V_{1}=V_{2}$, т.е. не было бы вообще изменения объёма на участке $1\to 2$. По условию идёт именно сжатие, значит $\beta>1$.

Итог:

$$\boxed{ \beta \;=\; \frac{3}{2}. }$$

---

Ответ

$$\boxed{ \dfrac{V_{1}}{V_{2}} \;=\; \dfrac{3}{2}. }$$