Теплота и работа газа

I’m working through a thermodynamics problem with an ideal monoatomic gas. It’s compressed in two steps: isobaric and a linear pressure-volume relationship. The problem involves knowing volumes, temperatures, and relationships between heat and work.

Determining key parameters

I’m establishing that the first step is isobaric compression with constant pressure $P$ and heat capacity $C_P$. The goal is to determine $Q(1->2, out)$.

Analyzing thermal behavior

I'm thinking through the thermal dynamics during isobaric compression, noting that heat $Q$ is removed, potentially reducing temperature $T$. The temperatures $T_1$ and $T_2$ are not explicitly given.

Connecting temperature and volume

OK, let me see. I’m linking $T_2$ to $T_1$ using $P$ and $V$. The linear pressure-volume relationship in the second process will refine this further.

Establishing pressure relationships

I’m linking $P_3$ to $P_2$ through $\beta$, then relating pressure and volume with a linear function $P(V) = a + bV$. This helps in understanding pressure dynamics.

Calculating work done

I’m thinking about the work $A_{2->3}$ done on the gas, integrating $P$ over $V$ from $V_2$ to $V_3$, considering the negative sign for compression.

Calculating average pressure

I’m determining the average pressure $\frac{P_2 + P_3}{2}$ over the volume change from $V_2$ to $V_3$, understanding that $V_3$ is smaller than $V_2$.

Adjusting my approach

I’m refining the work calculation $A_{2->3}$ by re-expressing pressures $P_2$ and $P_3$ through temperatures $T_2$, $T_3$, and volumes $V_2$, $V_3$.

Determining $A_{2->3}$

I’m finalizing the compression work expression by substituting $V_3$ with $\frac{V_2}{\beta}$, leading to $A_{2->3} = \frac{R T_2}{2} \frac{V_2^2 - \frac{V_2^2}{\beta^2}}{V_2 \frac{V_2}{\beta}}$.

Finalizing $A_{2->3}$

I’m simplifying the expression for the work done during compression by substituting $\frac{V_2}{\beta}$ for $V_3$, resulting in $A_{2->3} = \frac{R T_2}{2} (\beta - \frac{1}{\beta})$.

Calculating $Q_{1->2}$

I’m deriving the heat during isobaric compression by expressing $T_2$ in terms of $\beta$ and $T_1$, leading to $Q_{1->2} = \frac{5}{2} R [ T_1 ( \frac{1}{\beta} - 1 ) ]$.

Calculating heat removal

I’m working through the heat removed during isobaric compression, confirming $Q_{1->2} = \frac{5}{2} R T_2 [ 1 - \beta ]$. The sign indicates heat being taken out of the gas.

Clarifying heat removal

I’m thinking through the sign convention for heat removal, noting that $Q_{1->2}$ is negative for compression, indicating heat is extracted from the gas.

Setting up the equation

I’m equating the magnitude of heat removal during isobaric compression to three times the compression work, leading to $\frac{5}{2} R T_2 [ \beta -1 ] = 3 * \frac{R T_2}{2} [ \beta - \frac{1}{\beta} ]$.

Equating expressions

I’m equating and simplifying heat removal and compression work expressions to form a quadratic equation for $\beta$, which I can then solve to determine the volume ratio.

Thought about сжатие газа и термодинамика por 37 segundos

Ниже приведён разбор задачи по шагам. Сразу отметим главное: в задаче нужно найти отношение

В итоге получится, что

1. Дано в условии

1. Имеем 1 моль одноатомного идеального газа.
2. Сжатие идёт в два этапа:
   • Участок $1\to 2$ — изобарический ( $P=\text{const}$ ).
   • Участок $2\to 3$ — давление линейно зависит от объёма (прямолинейный график $P(V)$ на диаграмме).
3. Выполнены соотношения $$\frac{V_{1}}{V_{2}} \;=\; \frac{V_{2}}{V_{3}} \;=\; \beta, \qquad T_{2} \;=\; T_{3}.$$
4. Количество теплоты, отведённое от газа (то есть «вышедшее» из газа) на участке $1\to 2$, в 3 раза больше работы сжатия, совершённой над газом на участке $2\to 3$: $$Q_{1\to 2,\;\text{отв}} \;=\; 3\,A_{2\to 3}.$$
5. Требуется найти $\beta$.

Ниже последовательно найдём:

• Отведённую теплоту на участке $1\to 2$.
• Работу внешних сил (работу сжатия) на участке $2\to 3$.
• Составим уравнение из условия $Q_{1\to 2,\;\text{отв}} = 3\,A_{2\to 3}$ и решим его на $\beta$.

2. Теплота на участке $1\to 2$ (изобарическое сжатие)

2.1. Температуры $T_1$ и $T_2$

Из уравнения состояния $PV = RT$ и того, что $P=\text{const}$ на участке $1\to 2$, следует:

(Ведь $\beta = V_{1}/V_{2}$.)

2.2. Формула для $Q_{1\to 2}$

Для 1 моль одноатомного газа:

Теплота при изобарическом процессе:

Подставляя $T_{2} = T_{1}/\beta$:

Следовательно,

Поскольку при сжатии ($\beta>1$) температура конечная $T_2$ меньше начальной $T_1$, получаем $T_{2}-T_{1}<0$, и потому

Чаще всего в задаче под $Q_{1\to 2,\;\text{отв}}$ понимают модуль отведённого тепла (то есть положительное число), тогда

Удобно сразу переписать через $T_{2}$: ведь $T_{1} = \beta\,T_{2}$. Тогда

что короче и нагляднее:

(Здесь $\beta>1$, так что $\beta-1>0$.)

3. Работа сжатия на участке $2\to 3$

3.1. Условие $T_2 = T_3$

На участке $2\to 3$ сказано, что в конце процесса температура вернулась к тому же значению:

Тогда из уравнения состояния для 1 моля ($P\,V = R\,T$) имеем:

Отсюда

Но $V_{3} = \tfrac{V_{2}}{\beta}$. Значит

3.2. Линейная зависимость $P(V)$

По условию график $P(V)$ от $V_2$ до $V_3$ — прямая. При линейном ходе давление от $P_2$ до $P_3$ работа при сжатии (то есть работа внешних сил над газом) равна «площади трапеции» на $P\!-\!V$ диаграмме:

с учётом того, что $V_3<V_2$ и мы ищем работу внешних сил (по модулю). Удобно сразу написать «как площадь трапеции», но взять $V_{2}-V_{3}$ положительным:

Подставим $P_{2} = \tfrac{R\,T_{2}}{V_{2}}$ и $P_{3} = \tfrac{R\,T_{2}}{V_{3}}$:

Тогда

С учётом $V_{3} = \tfrac{V_{2}}{\beta}$ несложно алгебраически упростить и получить удобную форму. В частности, получается:

(Это самый компактный вид.)

4. Условие $Q_{1\to 2,\;\text{отв}} = 3\,A_{2\to 3}$

Из п.2.2 мы имеем

а из п.3.2

По условию:

Подставляя формулы:

Сокращая общий множитель $\tfrac{R\,T_{2}}{2}$, получаем:

Раскроем скобки и соберём в стандартный вид:

Перенесём члены:

Умножим на $\beta$:

Получили квадратное уравнение:

Оно легко факторизуется:

Следовательно,

• $\beta = \tfrac{3}{2}$ или
• $\beta = 1$.

Но $\beta=1$ означало бы $V_{1}=V_{2}$, т.е. не было бы вообще изменения объёма на участке $1\to 2$. По условию идёт именно сжатие, значит $\beta>1$.

Итог:

Ответ