Минимальное количество цветов

Grasping the puzzle

I’m piecing together the number of balls in the bag, analyzing combinations and sets, and exploring information values to determine the minimal possible A.

Assessing event likelihood

OK, let me see. The probability of selecting 2A balls with only two distinct numbers is minuscule, as the log base 2 of this probability must yield at least 76 bits.

Determining combinations

I’m mapping out the choices for 2 distinct numbers and A balls for each number, ensuring the total 2A balls adhere to the specified constraints.

Selecting the subset

I'm trying to find how many ways to pick 2A balls, ensuring they come from only two distinct numbers, and verifying the constraints outlined in the problem.

Pinpointing the subset

OK, I’m concluding that picking 2A balls from two distinct numbers means selecting all 2A balls from these 2A available, which is the only option.

Confirming selection

I’m concluding that choosing 2A balls from two distinct numbers means selecting all 2A balls from these 2A available, as other choices are not viable.

Piecing it together

OK, let's think this through: I’m confirming that selecting 2A balls from two distinct numbers requires picking all 2A balls from these two numbers. Any other choice surpasses the limit.

Determining feasible outcomes

I’m piecing together the options: selecting exactly A balls from each of two distinct numbers, totaling 120 distinct pairs, leads to 120 favorable outcomes.

Evaluating the probability

Using Stirling's approximation to calculate C(16A, 2A), I’m trying to pinpoint the smallest A that meets 120 / C(16A, 2A) ≤ 2^-76. This involves comparing probabilities.

Calculating Stirling's approximation

I’m simplifying C(16A, 2A) using Stirling's approximation, focusing on the dominant terms and powers of A to estimate the minimal A needed. It’s interesting to see how it unfolds.

Breaking it down

I'm simplifying the expression by canceling out powers of A and focusing on the main ratio of terms, which shows that the dominant factor is 2's powers.

Noticing the trends

I’m approximating the ratio of terms, using logarithms to refine calculations. This shows that focusing on dominant factors reveals significant underlying patterns.

Rethinking my approach

I’m analyzing Stirling's approximation and a polynomial-based approach to estimate the minimal A that satisfies the condition. Progressing towards a more refined solution.

Utilizing binomial coefficients

Applying a binomial coefficient approximation, I’m using p=0.125 and q=0.875, with Stirling's approximation to estimate the minimal A that satisfies the condition.

Utilizing entropy function

I’m digging into the binary entropy function to approximate C(16A, 2A), focusing on terms that grow exponentially as A increases. This provides a refined estimate of the minimal A.

Estimating the minimal A

OK, let me see. I’m working through the calculation using the entropy function and approximations, aiming to find the smallest A that ensures C(16A, 2A) meets the required threshold.

Moving forward

I’m choosing a more precise method to calculate C(160,20) using binomial coefficients, aiming to ensure it meets the required threshold for C(16A, 2A).

Crunching the numbers

OK, let me see. I’m calculating 10 to the power of the difference between prime factors of factorials. It’s interesting to see how the numbers unfold.

Assessing C(144,18)

I’ve calculated C(144,18) to be roughly 2.29e22, which falls short of the required threshold of 9e24, clearly showing the gap between A=9 and A=10.

1m 18s 동안 Thought about минимизация количества цветов

Разбор задачи

Имеется мешок с шарами: всего шаров $16A$, разбитых на $A$ цветов, по 16 шаров каждого цвета. Каждый шар имеет уникальный номер от 1 до 16 в рамках своего цвета, так что всего шаров $16A$.

Дима выбирает наудачу $2A$ шаров из этих $16A$. Рассматривается событие: «в выбранном наборе встречаются шары только с двумя различными номерами». Нужно найти минимальное $A$, при котором информация, содержащаяся в сообщении о наступлении этого события, составляет не менее 76 бит.

Пояснение условия

1. Всего шаров: $16A$.

2. Выбор: $\binom{16A}{2A}$ — общее число способов выбрать $2A$ шаров.

3. Событие: «Выбранные шары имеют ровно два различных номера».

   Как подсчитать число способов, благоприятствующих этому событию?

   • Есть 16 возможных номеров шаров (от 1 до 16).
   • Выбираем 2 разных номера из 16: $\binom{16}{2} = 120$ вариантов выбора пар номеров.
   • Для каждого выбранного номера доступно по $A$ шаров (по одному шару каждого цвета).
   • Итого для двух номеров есть ровно $2A$ шаров.

   Чтобы в выбранном наборе из $2A$ шаров были только эти два номера, нужно взять все эти $2A$ шаров (так как нам нужно ровно $2A$ шаров, а у нас их ровно $2A$ для двух выбранных номеров). Других вариантов нет, т.к. если бы мы взяли меньше шаров одного из номеров, нам пришлось бы взять больше шаров второго номера, что невозможно (их всего по $A$ каждого номера).

   Значит, для каждой пары номеров существует ровно 1 способ выбрать $2A$ шаров, удовлетворя условию.

   Всего благоприятных вариантов: 120.

Вероятность события

Информационное содержание в битах: $-\log_2(P)$.

Требование:

Эквивалентно:

Нужно найти минимальное целое $A$, удовлетворящее этому неравенству.

Оценки и приближённые вычисления

Для больших $A$ биномиальные коэффициенты очень быстро растут. Попытаемся проверить адекватность значений для небольших $A$.

• При $A=9$: $\binom{144}{18}$ примерно $2.29 \times 10^{22}$ (по оценкам, приведённым в разборе).

  Тогда:

  $$120 \cdot 2^{76} \approx 9 \times 10^{24}.$$

  $\binom{144}{18} \approx 2.29 \times 10^{22}$ слишком мало по сравнению с $9 \times 10^{24}$.

• При $A=10$: $\binom{160}{20} \approx 1.45 \times 10^{25}$, что уже больше $9 \times 10^{24}$.

Таким образом, при $A=10$ неравенство выполняется. При $A=9$ оно не выполняется. Следовательно, минимальное $A=10$.

Ответ:

10