Конечно. Смотрим на то, насколько каждый вектор смещается по $x$ и по $y$:

Вектор	Проекция на $Ox$	Проекция на $Oy$
$\vec a$	$+4$ м	$0$
$\vec b$	$0$	$+3$ м
$\vec c$	$+4$ м	$+2$ м
$\vec d$	$+3$ м	$-4$ м
$\vec e$	$-4$ м	$0$

Положительные проекции:

• на $Ox$: $\vec a,\vec c,\vec d$;
• на $Oy$: $\vec b,\vec c$.

По модулю вектор совпадает со своей проекцией, если он направлен вдоль оси:

• $\vec a$ — с проекцией на $Ox$;
• $\vec b$ — с проекцией на $Oy$;
• $\vec e$ — с проекцией на $Ox$ по модулю.

Нулевая проекция:

• $\vec a$ и $\vec e$ на $Oy$;
• $\vec b$ на $Ox$.

Например, у $\vec d$: вправо на $3$ м → $d_x=+3$, вниз на $4$ м → $d_y=-4$.

Да 🙂

Так как единичный отрезок = 1 см, то расстояние от точки $O$ до каждой точки равно её координате.

Отмечаем на луче:

• $A(2)$
• $B(6)$
• $C(8)$
• $D(9)$

Тогда:

$$OA=2\text{ см}$$ $$OB=6\text{ см}$$ $$OC=8\text{ см}$$ $$OD=9\text{ см}$$

Ответ: $OA=2$ см, $OB=6$ см, $OC=8$ см, $OD=9$ см.

Конечно, тут 6 задач. Решение можно записать так:

1. $R=3\sqrt2$ см — радиус окружности, описанной около квадрата.
Для квадрата $R=\frac{a\sqrt2}{2}$.

$$a=R\sqrt2=3\sqrt2\cdot\sqrt2=6\text{ см}$$ $$S=a^2=6^2=\boxed{36\text{ см}^2}$$

2. Сторона правильного треугольника $a=2\sqrt3$ см.
Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{a\sqrt3}{6} =\frac{2\sqrt3\cdot\sqrt3}{6}=1$$ $$\boxed{r=1\text{ см}}$$

3. Диаметр круга $d=3$ см, значит

$$r=\frac32\text{ см}$$ $$S=\pi r^2=\pi\left(\frac32\right)^2 =\boxed{\frac{9\pi}{4}\text{ см}^2}$$

4. Длина окружности $12\pi$ см:

$$2\pi R=12\pi$$ $$R=6\text{ см}$$

Диагональ квадрата $d=2R=12$ см. Тогда

$$a=\frac{12}{\sqrt2}=6\sqrt2$$

Периметр:

$$P=4a=4\cdot6\sqrt2=\boxed{24\sqrt2\text{ см}}$$

5. Высота правильного треугольника $h=6\sqrt3$ см.
Для правильного треугольника радиус описанной окружности:

$$R=\frac23h$$ $$R=\frac23\cdot6\sqrt3=4\sqrt3$$

Площадь круга:

$$S=\pi R^2=\pi(4\sqrt3)^2 =\boxed{48\pi\text{ см}^2}$$

6. $R=4\sqrt2$ см, сторона правильного многоугольника $a=8$ см.

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{n}$$ $$8=2\cdot4\sqrt2\sin\frac{180^\circ}{n}$$ $$\sin\frac{180^\circ}{n}=\frac1{\sqrt2}$$

Значит:

$$\frac{180^\circ}{n}=45^\circ$$ $$n=4$$

Это квадрат. Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac a2=4\text{ см}$$ $$\boxed{r=4\text{ см},\quad n=4}$$

Ответы:

1. $36\text{ см}^2$; 2) $1\text{ см}$; 3) $\frac{9\pi}{4}\text{ см}^2$; 4) $24\sqrt2\text{ см}$; 5) $48\pi\text{ см}^2$; 6) $4\text{ см},\ 4$ стороны.

Да 🙂 Я их не «строил» по чертежу, а рассчитывал по формулам.

Например, в этих 6 задачах:

1. Квадрат и описанная окружность
   Использовал связь

   $$R=\frac{a\sqrt2}{2}$$

   откуда нашёл сторону $a=6$, а потом площадь $S=a^2=36$.

2. Правильный треугольник
   Радиус вписанной окружности:

   $$r=\frac{a\sqrt3}{6}.$$

3. Круг по диаметру
   Сначала:

   $$r=\frac d2,$$

   потом

   $$S=\pi r^2.$$

4. Квадрат по длине описанной окружности
   Сначала из

   $$L=2\pi R$$

   нашёл $R$, затем диагональ квадрата $d=2R$, после этого сторону и периметр.

5. Правильный треугольник по высоте
   Использовал:

   $$R=\frac23h,$$

   а площадь круга:

   $$S=\pi R^2.$$

6. Правильный многоугольник
   Тут расчёт немного сложнее:

   $$a=2R\sin\frac{180^\circ}{n}.$$

   Получилось $n=4$, то есть фигура — квадрат, и уже для него нашли $r=4$ см.

То есть да — в каждом задании были расчёты, просто я сразу записал их довольно коротко. Если хочешь, могу показать все 6 задач прям очень подробно: «дано → формула → подставляем → ответ», чтобы можно было переписать в тетрадь.

А, понял 😄 Ты про рисунок с координатной сеткой и векторами $a,b,c,d,e$.

Я их сам не строил — они уже были на фото. Я определял их проекции по клеткам. Тут есть расчёт:

Для любого вектора берём координаты его начала $(x_1,y_1)$ и конца $(x_2,y_2)$:

$$V_x=x_2-x_1,\qquad V_y=y_2-y_1$$

Например, у $\vec c$:

$$(2;4)\rightarrow(6;6)$$

Поэтому:

$$c_x=6-2=4,\qquad c_y=6-4=2$$

То есть по $Ox$ он прошёл 4 м вправо, а по $Oy$ — 2 м вверх.

У $\vec d$:

$$(8;6)\rightarrow(11;2)$$ $$d_x=11-8=3$$ $$d_y=2-6=-4$$

Получаем $d_x=+3$ м и $d_y=-4$ м.

А горизонтальные и вертикальные ещё проще: у горизонтального вектора проекция на $Oy$ равна $0$, а у вертикального — проекция на $Ox$ равна $0$.

Если хочешь, могу прямо на твоём первом рисунке показать стрелочками, откуда берутся все числа для $a,b,c,d,e$.

Не смог сейчас сгенерировать чертёж/картинку с графиками из‑за ошибки инструмента.
Но я сразу дам тебе нормальное построение по шагам, чтобы можно было начертить в тетрадь.

---

Построить графики функций

а) $y=1{,}5-3x$

Это линейная функция, график — прямая.

Берём несколько точек:

Подставляем значения $x$:

• если $x=0$, то

  $$y=1{,}5-3\cdot 0=1{,}5$$

  точка: $(0;\,1{,}5)$

• если $x=1$, то

  $$y=1{,}5-3\cdot 1=-1{,}5$$

  точка: $(1;\,-1{,}5)$

• если $x=-1$, то

  $$y=1{,}5-3(-1)=1{,}5+3=4{,}5$$

  точка: $(-1;\,4{,}5)$

Как строить:

1. Начерти координатные оси.
2. Отметь точки: $$(-1;\,4{,}5),\quad (0;\,1{,}5),\quad (1;\,-1{,}5)$$
3. Соедини их одной прямой.

---

б) $y=4{,}5x$

Это тоже линейная функция, график — прямая, проходящая через начало координат.

Точки:

• если $x=0$, то

  $$y=4{,}5\cdot 0=0$$

  точка: $(0;0)$

• если $x=1$, то

  $$y=4{,}5$$

  точка: $(1;4{,}5)$

• если $x=2$, то

  $$y=9$$

  точка: $(2;9)$

• если $x=-1$, то

  $$y=-4{,}5$$

  точка: $(-1;-4{,}5)$

Как строить:

1. Начерти оси.
2. Отметь точки: $$(-1;\,-4{,}5),\quad (0;0),\quad (1;\,4{,}5),\quad (2;\,9)$$
3. Проведи через них прямую.

---

в) $y=\frac{10}{x}$

Это обратная пропорциональность, график — гипербола.

Точки для построения:

Правая ветвь:

• если $x=1$, то

  $$y=\frac{10}{1}=10$$

  $(1;10)$

• если $x=2$, то

  $$y=\frac{10}{2}=5$$

  $(2;5)$

• если $x=5$, то

  $$y=\frac{10}{5}=2$$

  $(5;2)$

• если $x=10$, то

  $$y=\frac{10}{10}=1$$

  $(10;1)$

Левая ветвь:

• если $x=-1$, то

  $$y=\frac{10}{-1}=-10$$

  $(-1;-10)$

• если $x=-2$, то

  $$y=-5$$

  $(-2;-5)$

• если $x=-5$, то

  $$y=-2$$

  $(-5;-2)$

• если $x=-10$, то

  $$y=-1$$

  $(-10;-1)$

Как строить:

1. Начерти оси.
2. Отметь все точки: $$(1;10),\ (2;5),\ (5;2),\ (10;1)$$ $$(-1;-10),\ (-2;-5),\ (-5;-2),\ (-10;-1)$$
3. Плавно соедини точки:
   • одну ветвь в I четверти,
   • вторую ветвь в III четверти.
4. Помни: график не пересекает оси $Ox$ и $Oy$, а только приближается к ним.

---

Коротко: что должно получиться

• а) убывающая прямая
• б) возрастающая прямая через $(0;0)$
• в) гипербола с ветвями в I и III четвертях

---

Таблица значений

а) $y=1{,}5-3x$

$x$	$-1$	$0$	$1$
$y$	$4{,}5$	$1{,}5$	$-1{,}5$

б) $y=4{,}5x$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-4{,}5$	$0$	$4{,}5$	$9$

в) $y=\frac{10}{x}$

$x$	$-10$	$-5$	$-2$	$-1$	$1$	$2$	$5$	$10$
$y$	$-1$	$-2$	$-5$	$-10$	$10$	$5$	$2$	$1$

---

Если хочешь, я прямо сейчас могу сделать тебе готовое оформление “в тетрадь” — аккуратно, по пунктам, чтобы просто переписать.

Да, давай эти сделаем нормально и аккуратно.

1.3. Найдите неопределённый интеграл

---

1) $\displaystyle \int \left(3x^5+\frac{7}{2\sqrt{x}}\right)dx$

Разделим на два интеграла:

$$\int 3x^5dx+\int \frac{7}{2\sqrt{x}}dx$$

Первый:

$$\int 3x^5dx=3\cdot \frac{x^6}{6}=\frac{x^6}{2}$$

Второй:

$$\frac{7}{2\sqrt{x}}=\frac{7}{2}x^{-1/2}$$ $$\int \frac{7}{2}x^{-1/2}dx=\frac{7}{2}\cdot 2x^{1/2}=7\sqrt{x}$$

Ответ:

$$\boxed{\int \left(3x^5+\frac{7}{2\sqrt{x}}\right)dx=\frac{x^6}{2}+7\sqrt{x}+C}$$

---

2) $\displaystyle \int \left(3\cos 5x-\frac{1}{x^2}\right)dx$

Разделим:

$$\int 3\cos 5x\,dx-\int \frac{1}{x^2}dx$$

Первый:

$$\int 3\cos 5x\,dx=3\cdot \frac{\sin 5x}{5}=\frac{3}{5}\sin 5x$$

Второй:

$$\frac{1}{x^2}=x^{-2}$$ $$-\int x^{-2}dx=-\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right)=\frac{1}{x}$$

Ответ:

$$\boxed{\int \left(3\cos 5x-\frac{1}{x^2}\right)dx=\frac{3}{5}\sin 5x+\frac{1}{x}+C}$$

---

3) $\displaystyle \int \left(8\sin x-\frac{2}{\sin^2 2x}\right)dx$

Разделим:

$$\int 8\sin x\,dx-\int \frac{2}{\sin^2 2x}dx$$

Первый:

$$\int 8\sin x\,dx=-8\cos x$$

Второй:

Заметим, что

$$\frac{1}{\sin^2 2x}=\csc^2 2x$$

а

$$(\cot 2x)'=-2\csc^2 2x=-\frac{2}{\sin^2 2x}$$

Значит:

$$\int -\frac{2}{\sin^2 2x}dx=\cot 2x$$

Ответ:

$$\boxed{\int \left(8\sin x-\frac{2}{\sin^2 2x}\right)dx=-8\cos x+\cot 2x+C}$$

---

4) $\displaystyle \int (2\sin 3x-5x^7+3)\,dx$

Разделим:

$$\int 2\sin 3x\,dx-\int 5x^7dx+\int 3dx$$

Первый:

$$\int 2\sin 3x\,dx=-\frac{2}{3}\cos 3x$$

Второй:

$$\int 5x^7dx=5\cdot \frac{x^8}{8}=\frac{5x^8}{8}$$

Но перед интегралом стоит минус, значит:

$$-\int 5x^7dx=-\frac{5x^8}{8}$$

Третий:

$$\int 3dx=3x$$

Ответ:

$$\boxed{\int (2\sin 3x-5x^7+3)\,dx=-\frac{2}{3}\cos 3x-\frac{5x^8}{8}+3x+C}$$

---

5) $\displaystyle \int \left(\frac{3}{x^7}-\frac{7}{\cos^2 x}\right)dx$

Разделим:

$$\int \frac{3}{x^7}dx-\int \frac{7}{\cos^2 x}dx$$

Первый:

$$\frac{3}{x^7}=3x^{-7}$$ $$\int 3x^{-7}dx=3\cdot \frac{x^{-6}}{-6}=-\frac{1}{2}x^{-6}=-\frac{1}{2x^6}$$

Второй:

$$\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$$ $$\int \sec^2 x\,dx=\tan x$$

Тогда:

$$-\int 7\sec^2 x\,dx=-7\tan x$$

Ответ:

$$\boxed{\int \left(\frac{3}{x^7}-\frac{7}{\cos^2 x}\right)dx=-\frac{1}{2x^6}-7\tan x+C}$$

---

6) $\displaystyle \int \left(7-\frac{5}{\sin^2 x}\right)dx$

Разделим:

$$\int 7dx-\int \frac{5}{\sin^2 x}dx$$

Первый:

$$\int 7dx=7x$$

Второй:

$$\frac{1}{\sin^2 x}=\csc^2 x$$

А

$$(\cot x)'=-\csc^2 x$$

Значит:

$$\int -\frac{5}{\sin^2 x}dx=5\cot x$$

Ответ:

$$\boxed{\int \left(7-\frac{5}{\sin^2 x}\right)dx=7x+5\cot x+C}$$

---

Все ответы кратко:

$$1)\ \boxed{\frac{x^6}{2}+7\sqrt{x}+C}$$ $$2)\ \boxed{\frac{3}{5}\sin 5x+\frac{1}{x}+C}$$ $$3)\ \boxed{-8\cos x+\cot 2x+C}$$ $$4)\ \boxed{-\frac{2}{3}\cos 3x-\frac{5x^8}{8}+3x+C}$$ $$5)\ \boxed{-\frac{1}{2x^6}-7\tan x+C}$$ $$6)\ \boxed{7x+5\cot x+C}$$

Если хочешь, я могу ещё оформить это совсем как для тетради — без лишних объяснений, только запись решения в школьном виде.

Да, конечно. Тут №31:

Найдите значение выражения.

---

а)

$$\sqrt{(2-\sqrt8)^2}+\sqrt{(\sqrt8-3)^2}$$

Заметим, что

$$\sqrt{a^2}=|a|$$

Тогда:

$$\sqrt{(2-\sqrt8)^2}=|2-\sqrt8|$$ $$\sqrt{(\sqrt8-3)^2}=|\sqrt8-3|$$

Так как

$$\sqrt8=2\sqrt2 \approx 2{,}83$$

то:

• $2-\sqrt8<0$, значит

  $$|2-\sqrt8|=\sqrt8-2$$

• $\sqrt8-3<0$, значит

  $$|\sqrt8-3|=3-\sqrt8$$

Складываем:

$$(\sqrt8-2)+(3-\sqrt8)=1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

---

б)

$$\left(\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5}-\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5}\right)^2$$

Общий знаменатель одинаковый, объединяем:

$$\left(\frac{\sqrt5+1-(\sqrt5-1)}{\sqrt5}\right)^2$$

Раскрываем скобки:

$$\left(\frac{\sqrt5+1-\sqrt5+1}{\sqrt5}\right)^2 = \left(\frac{2}{\sqrt5}\right)^2$$ $$\frac{4}{5}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac45}$$

---

в)

$$\left(\sqrt{9-4\sqrt2}+\sqrt{9+4\sqrt2}\right)^2$$

Используем формулу:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Получаем:

$$(9-4\sqrt2)+(9+4\sqrt2)+2\sqrt{(9-4\sqrt2)(9+4\sqrt2)}$$

Сначала сокращаются средние части:

$$18+2\sqrt{81-(4\sqrt2)^2}$$ $$18+2\sqrt{81-32}$$ $$18+2\sqrt{49}$$ $$18+2\cdot 7=18+14=32$$

Ответ:

$$\boxed{32}$$

---

г)

$$\frac{1}{2+\sqrt3}-\frac{2}{\sqrt3+\sqrt5}+\frac{4}{3-\sqrt5}$$

Рационализируем каждую дробь.

1)

$$\frac{1}{2+\sqrt3}$$

Домножаем на сопряжённое $2-\sqrt3$:

$$\frac{1(2-\sqrt3)}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)} = \frac{2-\sqrt3}{4-3} = 2-\sqrt3$$

---

2)

$$\frac{2}{\sqrt3+\sqrt5}$$

Домножаем на $\sqrt5-\sqrt3$:

$$\frac{2(\sqrt5-\sqrt3)}{(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt5-\sqrt3)} = \frac{2(\sqrt5-\sqrt3)}{5-3} = \sqrt5-\sqrt3$$

Но в выражении стоит минус, значит:

$$-(\sqrt5-\sqrt3)=-\sqrt5+\sqrt3$$

---

3)

$$\frac{4}{3-\sqrt5}$$

Домножаем на $3+\sqrt5$:

$$\frac{4(3+\sqrt5)}{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)} = \frac{4(3+\sqrt5)}{9-5} = 3+\sqrt5$$

---

Теперь всё складываем:

$$(2-\sqrt3)+(-\sqrt5+\sqrt3)+(3+\sqrt5)$$

Сокращаем:

• $-\sqrt3+\sqrt3=0$
• $-\sqrt5+\sqrt5=0$

Остаётся:

$$2+3=5$$

Ответ:

$$\boxed{5}$$

---

Ответы:

$$\boxed{а)\ 1 \qquad б)\ \frac45 \qquad в)\ 32 \qquad г)\ 5}$$

Если хочешь, я могу ещё оформить это коротко, как для тетради, без длинных объяснений.

Проверил внимательно именно ход решения, а не только ответы. Есть две важные ошибки.

а) Ответ $1$ правильный, но решение записано неправильно.
У тебя перепутаны модули.

Нужно помнить:

$$\sqrt{a^2}=|a|$$

Так как $\sqrt8=2\sqrt2\approx2{,}83$, то

$$2-\sqrt8<0$$

поэтому

$$|2-\sqrt8|=\sqrt8-2=2\sqrt2-2,$$

а не $3-2\sqrt2$.

И

$$\sqrt8-3<0,$$

поэтому

$$|\sqrt8-3|=3-\sqrt8=3-2\sqrt2.$$

Правильно:

$$\sqrt{(2-\sqrt8)^2}+\sqrt{(\sqrt8-3)^2}$$ $$=(2\sqrt2-2)+(3-2\sqrt2)=1.$$

То есть здесь ответ $\boxed1$ правильный, но вычисления перед ним надо исправить. У тебя по записанным вычислениям вообще получилось $0$, а потом внезапно написано $1$.

---

б) Всё правильно. ✅

$$\left(\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5}-\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5}\right)^2$$ $$=\left(\frac{\sqrt5+1-\sqrt5+1}{\sqrt5}\right)^2 =\left(\frac2{\sqrt5}\right)^2 =\frac45.$$

Здесь и решение, и ответ:

$$\boxed{\frac45}$$

правильные.

---

в) Ответ $32$ правильный, но решение серьёзно неправильное.

У тебя написано:

$$9-4\sqrt2=(2-\sqrt2)^2$$

Но это неверно, потому что

$$(2-\sqrt2)^2=4-4\sqrt2+2=6-4\sqrt2,$$

а не $9-4\sqrt2$.

Нужно представить так:

$$9-4\sqrt2=(2\sqrt2-1)^2,$$

потому что

$$(2\sqrt2-1)^2=8-4\sqrt2+1=9-4\sqrt2.$$

Аналогично:

$$9+4\sqrt2=(2\sqrt2+1)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{9-4\sqrt2}=|2\sqrt2-1|=2\sqrt2-1,$$ $$\sqrt{9+4\sqrt2}=2\sqrt2+1.$$

Теперь:

$$(2\sqrt2-1+2\sqrt2+1)^2$$ $$=(4\sqrt2)^2=16\cdot2=32.$$ $$\boxed{32}$$

То есть ответ у тебя случайно получился правильным, но промежуточные преобразования надо обязательно исправить. Более того, по твоей записи $(2-\sqrt2+2+\sqrt2)^2$ получилось бы $4^2=16$, а не $32$.

---

г) Всё правильно. ✅

Первая дробь:

$$\frac1{2+\sqrt3}=2-\sqrt3.$$

Вторая:

$$\frac2{\sqrt3+\sqrt5}=\sqrt5-\sqrt3.$$

Третья:

$$\frac4{3-\sqrt5}=3+\sqrt5.$$

Поэтому:

$$(2-\sqrt3)-(\sqrt5-\sqrt3)+(3+\sqrt5)$$ $$=2-\sqrt3-\sqrt5+\sqrt3+3+\sqrt5=5.$$ $$\boxed5$$

Итог:
а) ❌ ход решения неверный, ответ $1$ верный;
б) ✅ полностью правильно;
в) ❌ ход решения неверный, ответ $32$ верный;
г) ✅ полностью правильно.

То есть б) и г) можно оставлять как есть, а а) и в) лучше переписать, иначе учитель вполне может снять баллы за решение.