Реши все

На фото полностью читаются задачи №1–4. №5 обрезана снизу, а условия №6–9 — справа, поэтому для них данных недостаточно.

1. Опрокидывание сейфа

Размеры основания $0{,}5\times1$ м, высота $H=1{,}8$ м. Выгоднее кантовать сейф вокруг ребра, параллельного стороне $1$ м: тогда расстояние от центра масс до оси опрокидывания равно

$$d=\frac{0{,}5}{2}=0{,}25\text{ м}.$$

Силу следует приложить к противоположному верхнему ребру перпендикулярно диагонали сечения. Максимальное плечо силы:

$$L=\sqrt{H^2+0{,}5^2} =\sqrt{1{,}8^2+0{,}5^2}.$$

В момент начала опрокидывания:

$$F_{\min}L=mgd.$$

Отсюда

$$F_{\min} =\frac{mg\cdot0{,}25}{\sqrt{1{,}8^2+0{,}5^2}} =\frac{100\cdot10\cdot0{,}25}{\sqrt{3{,}49}} \approx134\text{ Н}.$$ $$\boxed{F_{\min}\approx1{,}3\cdot10^2\text{ Н}}$$

Если силу разрешено прикладывать только горизонтально к верхней части сейфа, получится немного больше:

$$F=\frac{mg\cdot0{,}25}{1{,}8}\approx139\text{ Н}.$$

---

2. Катушка на наклонной плоскости

Обозначим силу трения через $f$, направив её вверх по плоскости.

Моменты сил относительно оси катушки

Натяжение действует на радиусе $r$, трение — на радиусе $R$:

$$fR=Tr.$$

Так как $R=2r$,

$$f=\frac{T}{2}.$$

Проекция сил на наклонную плоскость

Горизонтальная нить образует с плоскостью угол $\alpha$, поэтому проекция натяжения равна $T\cos\alpha$:

$$T\cos\alpha+f=mg\sin\alpha.$$

Подставляем $f=T/2$:

$$T\left(\cos\alpha+\frac12\right)=mg\sin\alpha.$$

Следовательно,

$$\boxed{T=\frac{2mg\sin\alpha}{1+2\cos\alpha}}.$$

Условие для коэффициента трения

Нормальная реакция:

$$N=mg\cos\alpha+T\sin\alpha.$$

Необходимо, чтобы

$$f\leqslant\mu N.$$

Минимальный коэффициент:

$$\mu_{\min}=\frac{f}{N}.$$

После подстановки $f=T/2$ и найденного $T$:

$$\boxed{\mu_{\min}=\frac{\sin\alpha}{2+\cos\alpha}}.$$

Значит, равновесие возможно при

$$\boxed{\mu\geqslant\frac{\sin\alpha}{2+\cos\alpha}}.$$

---

3. Будет ли катушка скатываться?

Предположим, что катушка катится без проскальзывания, а нить не проскальзывает по намотке.

Из условия качения по плоскости скорость центра:

$$v=\omega R.$$

Одновременно точка соприкосновения катушки с неподвижной нитью должна иметь нулевую скорость, откуда:

$$v=\omega r.$$

Но $R\ne r$. Поэтому оба равенства могут выполняться одновременно только при

$$v=0,\qquad \omega=0.$$

Следовательно,

$$\boxed{\text{катушка скатываться не будет}}.$$

Это верно при отсутствии проскальзывания нити и катушки относительно плоскости.

---

4. Стержень, удерживаемый нитью

Длина стержня и длина нити одинаковы и равны $l$, а угол между ними равен $60^\circ$. Точка подвеса нити и точка опоры стержня расположены на одной вертикали.

Получившийся треугольник имеет две стороны $l$ и угол между ними $60^\circ$, поэтому он равносторонний. Значит:

• стержень образует с полом угол $30^\circ$;
• нить образует с горизонтом угол $30^\circ$.

Обозначим натяжение нити через $T$.

Моменты сил относительно нижней точки стержня

$$Tl\sin60^\circ =mg\frac l2\cos30^\circ.$$

Поскольку $\sin60^\circ=\cos30^\circ$,

$$T=\frac{mg}{2}.$$

Равновесие по горизонтали

$$F_{\text{тр}}=T\cos30^\circ =\frac{mg}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3}{4}mg.$$

Равновесие по вертикали

$$N+T\sin30^\circ=mg,$$ $$N=mg-\frac{mg}{2}\cdot\frac12 =\frac34mg.$$

При предельном равновесии $F_{\text{тр}}=\mu N$:

$$\mu_{\min} =\frac{F_{\text{тр}}}{N} =\frac{\sqrt3/4}{3/4} =\frac1{\sqrt3}.$$ $$\boxed{\mu_{\min}=\frac1{\sqrt3}\approx0{,}577}$$

Результат совпадает с опубликованным разбором этого условия. (earthz.ru)

Для решения остальных номеров нужна фотография нижней и правой частей страницы целиком.