حل را با یک نمودار جسم آزاد ساده انجام می‌دهیم؛ لازم نیست شکل سه‌بعدی را دوباره بکشیم. فقط کافی است دو چرخ‌دنده و گشتاورهای منتقل‌شده را نشان دهیم.

1) داده‌ها

گشتاور اعمالی در انتهای $D$:

$$T_D = 1000 \ \text{N.m}$$

تنش برشی مجاز هر میله:

$$\tau_{allow}=60 \ \text{MPa}=60 \ \text{N/mm}^2$$

ابعاد چرخ‌دنده‌ها:

$$r_C = 40 \ \text{mm}$$ $$r_B = 100 \ \text{mm}$$

نسبت شعاع‌ها:

$$\frac{r_B}{r_C}=\frac{100}{40}=2.5$$

---

2) رسم نمودار جسم آزاد

برای حل، این‌گونه شکل ساده بکش:

1. میله $CD$ را به صورت یک خط افقی بکش. در انتهای $D$، گشتاور

$$T_D=1000 \ \text{N.m}$$

را نشان بده.

2. در محل چرخ‌دنده $C$، نیروی مماسی دندانه‌ها را $F$ بگذار. این نیرو روی شعاع $r_C=40 \ \text{mm}$ اثر می‌کند.

3. چرخ‌دنده $B$ را جدا بکش. همان نیروی مماسی $F$، ولی در جهت مخالف، روی شعاع $r_B=100 \ \text{mm}$ وارد می‌شود.

4. میله $AB$ در سمت $A$ به دیوار گیردار است، پس کل گشتاور منتقل‌شده از چرخ‌دنده $B$ را تحمل می‌کند.

جهت چرخش دو چرخ‌دنده مخالف است، ولی برای تعیین قطر فقط مقدار گشتاور مهم است.

---

3) گشتاور وارد بر میله $CD$

میله $CD$ مستقیماً گشتاور اعمالی در $D$ را منتقل می‌کند، بنابراین:

$$T_{CD}=1000 \ \text{N.m}$$

یا بر حسب $\text{N.mm}$:

$$T_{CD}=1000(1000)=1{,}000{,}000 \ \text{N.mm}$$

---

4) گشتاور وارد بر میله $AB$

چرخ‌دنده $C$ گشتاور $1000 \ \text{N.m}$ را با نیروی مماسی $F$ منتقل می‌کند:

$$T_C=F r_C$$

پس:

$$F=\frac{T_C}{r_C}$$

اما برای چرخ‌دنده $B$:

$$T_B=F r_B$$

بنابراین:

$$\frac{T_B}{T_C}=\frac{r_B}{r_C}$$

پس:

$$T_B=T_C\frac{r_B}{r_C}$$ $$T_B=1000\left(\frac{100}{40}\right)$$ $$T_B=2500 \ \text{N.m}$$

پس گشتاور داخلی میله $AB$:

$$T_{AB}=2500 \ \text{N.m}$$

یا:

$$T_{AB}=2{,}500{,}000 \ \text{N.mm}$$

نکته مهم: چون چرخ‌دنده $B$ بزرگ‌تر از $C$ است، گشتاور وارد بر میله $AB$ بیشتر از گشتاور میله $CD$ می‌شود.

---

5) رابطه تنش برشی پیچشی برای میله توپر دایره‌ای

برای محور توپر دایره‌ای:

$$\tau_{max}=\frac{Tc}{J}$$

که برای مقطع دایره‌ای توپر به رابطه زیر تبدیل می‌شود:

$$\tau_{max}=\frac{16T}{\pi d^3}$$

چون تنش مجاز داده شده است:

$$\tau_{max}=\tau_{allow}$$

پس:

$$d=\sqrt[3]{\frac{16T}{\pi \tau_{allow}}}$$

---

الف) قطر مورد نیاز میله $AB$

$$T_{AB}=2{,}500{,}000 \ \text{N.mm}$$ $$d_{AB}=\sqrt[3]{\frac{16(2{,}500{,}000)}{\pi(60)}}$$ $$d_{AB}=\sqrt[3]{212206.6}$$ $$d_{AB}=59.65 \ \text{mm}$$

پس:

$$\boxed{d_{AB}\approx 60 \ \text{mm}}$$

---

ب) قطر مورد نیاز میله $CD$

$$T_{CD}=1{,}000{,}000 \ \text{N.mm}$$ $$d_{CD}=\sqrt[3]{\frac{16(1{,}000{,}000)}{\pi(60)}}$$ $$d_{CD}=\sqrt[3]{84882.6}$$ $$d_{CD}=43.95 \ \text{mm}$$

پس:

$$\boxed{d_{CD}\approx 44 \ \text{mm}}$$

---

جواب نهایی

$$\boxed{d_{AB}=59.65 \ \text{mm} \approx 60 \ \text{mm}}$$ $$\boxed{d_{CD}=43.95 \ \text{mm} \approx 44 \ \text{mm}}$$

اگر قطرها باید از قطرهای استاندارد انتخاب شوند، باید قطرها را رو به بالا گرد کنیم:

$$\boxed{d_{AB}=60 \ \text{mm}}$$ $$\boxed{d_{CD}=44 \ \text{mm} \ \text{یا در عمل } 45 \ \text{mm}}$$