Гоночный болид готов начать движение по очень длин...

سؤال

Гоночный болид готов начать движение по очень длинному прямому участку трассы. Помимо двигателя, сообщающего ускорение $a$ , болид имеет ускоритель, который рассчитан на работу в течении интервала времени $t$ и сообщает болиду дополнительное ускорение $a_+$ . Болид участвует в гонке с фиксированным временем движения, целью которой является преодоление наибольшего участка трассы за установленное время $T$ $(T>t)$ . В какой момент времени пилоту болида нужно включить ускоритель, чтобы пройти максимальное расстояние?

الفكرة

Solving for maximum distance with booster use

The math is about car acceleration with constant engine force and additional acceleration from a booster. The car starts from rest, and the goal is to maximize distance in a fixed time. If acceleration just adds a constant, it's probably best to activate the booster immediately to maximize the time benefit. However, I need to calculate if this holds for the context where velocity impacts the trajectory.

Thought for 10s

الإجابة

Пилоту нужно включить ускоритель сразу в момент старта, то есть при $\tau=0$ .

Пусть ускоритель включают в момент $\tau$ , где $0\le \tau \le T-t$ . Двигатель всё время даёт ускорение $a$ , поэтому его вклад в путь не зависит от выбора $\tau$ . Нужно максимизировать только добавку от ускорителя.

Дополнительное ускорение $a_+$ , полученное в момент времени $s$ , увеличивает скорость на всё оставшееся время $T-s$ . Поэтому добавочный путь равен

\Delta S(\tau)=\int_{\tau}^{\tau+t} a_+(T-s)\,ds = a_+\left(Tt-\tau t-\frac{t^2}{2}\right).

Эта величина линейно убывает с ростом $\tau$ , потому что

\frac{d\Delta S}{d\tau}=-a_+t<0.

Значит, чем раньше включить ускоритель, тем больше расстояние он даст. Максимум достигается при

\boxed{\tau=0}.

Идея простая: ускоритель выгоднее включать как можно раньше, потому что полученная прибавка скорости будет действовать дольше.

سؤال

الفكرة

الإجابة

مشاركة هذا السؤال والجواب