下面是一套按经典模型整理并改编的高中数学“排列组合——多面手问题”专项题库，共 9 题。题型覆盖了：

• 按多面手去向分类
• 按是否兼职分类
• 补集 / 容斥原理
• 分组分配 + 定岗综合题

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高中数学《排列组合》专题：多面手问题专项题库

一、解题心法

1. 先把题意“翻译清楚”

做这类题，第一步不是急着列式，而是先弄清 4 件事：

1. 岗位是否有区别
   例如“主持、摄影、音响”是不同岗位，交换后算不同方案。

2. 每人能做几项工作
   默认往往是“每人至多一项”；若题目说“可兼任”，就要单独分类。

3. 是否允许有人空闲
   例如 5 个人做 4 项工作，有时允许 1 人不参加，有时要求每人都必须上岗。

4. 限制是对人还是对岗位
   是“甲能做哪些岗位”，还是“某岗位只能由某些人做”，本质上都可以转化为“人—岗对应关系”。

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2. 核心思想一：按“多面手”的去向分类

这是最常见的方法。
因为多面手往往是“变化源”，一旦先确定他去哪一个岗位，剩下的人和岗位往往会迅速固定下来。

常见分法：

• 按甲去哪个岗位分类
• 按甲是否兼职分类
• 按甲、乙这两个多面手分别去向分类

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3. 核心思想二：先安排“最受限制的人”或“最特殊的岗位”

有时不是先看多面手，而是先安排：

• 选择最少的人
• 只能由少数人胜任的岗位
• 一旦定下就会“牵一发动全身”的关键位置

这样可以减少重复与遗漏。

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4. 核心思想三：正面难，就用补集或容斥

当“至少有一人……”这类条件出现时，经常用：

• 正难则反：
  所求 = 总数 − 不符合条件的情况数

• 容斥原理：
  当存在若干“不能发生”的事件时，用

  $$\text{合法数}= \text{总数}-\sum\text{单个坏事件}+\sum\text{两个坏事件交集}-\cdots$$

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5. 核心思想四：综合题遵循“先定关键岗位，再补普通成员”

一旦题目结合了分组、选队长、设组长/记录员等，最稳妥的顺序是：

1. 先定特殊岗位
2. 再补普通成员
3. 最后检查是否重复计数

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6. 一句口诀

先审是否兼职，再看是否分组；优先安排特殊，分类做到互斥；能反着算就反着算。

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二、阶梯题库

基础篇（1个多面手，常规分配）

题1

学校安排甲、乙、丙、丁四名同学担任“主持人、计分员、计时员、联络员”四项工作，每人恰好承担一项。已知甲是多面手，四项都能胜任；乙只能担任主持人或联络员；丙只能担任计分员或计时员；丁只能担任计时员或联络员。问共有多少种不同的安排方法？

题2

甲、乙、丙、丁四人分担“主持、摄影、音响”三项不同工作，每项工作恰有 1 人负责。乙、丙、丁每人至多承担 1 项；甲是多面手，可承担 1 项，也可兼任 2 项。问共有多少种分配方法？

题3

甲、乙、丙、丁四人承担 $a,b,c,d$ 四项不同工作，每人恰好承担一项。甲是多面手，四项都能做；乙不能做 $a$ 工作，丙不能做 $b$ 工作，丁不能做 $c$ 工作。问共有多少种安排方法？

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进阶篇（2个或以上多面手，限制条件增加）

题4

甲、乙、丙、丁、戊 5 人分别承担 $1,2,3,4,5$ 五项不同工作，每人恰好 1 项。已知：

• 甲可做 $1,2,3$
• 乙可做 $3,4,5$
• 丙可做 $1,2$
• 丁可做 $2,4$
• 戊可做 $1,5$

问共有多少种安排方法？

题5

甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人承担 $1,2,3,4,5,6$ 六项不同工作，每人恰好 1 项。甲是多面手，可做 $1,2,3,4$ 号工作；乙是多面手，可做 $3,4,5,6$ 号工作；丙、丁、戊、己对六项工作都能胜任。若要求甲、乙中至少有一人担任 3 号或 4 号工作，问共有多少种安排方法？

题6

甲、乙、丙、丁、戊 5 人分担 $A,B,C,D$ 四项不同工作，每项工作恰有 1 人负责，允许有人不承担工作。甲、乙都是多面手，各自都可以承担任意工作，且甲、乙中恰有一人兼任两项；丙、丁、戊每人至多承担 1 项。问共有多少种分配方法？

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挑战篇（结合其他排列组合模型）

题7

甲、乙、丙、丁、戊、己 6 名同学分到 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三个不同项目组，每组 2 人，并且每组恰有 1 名组长。已知：

• 甲是多面手，可担任任一组组长
• 乙只能担任Ⅰ组或Ⅱ组组长
• 丙只能担任Ⅱ组或Ⅲ组组长
• 丁、戊、己都不能担任组长

问分组并确定组长的方案数。

题8

8 名同学要组成数学队、信息队和后勤组，其中数学队 3 人并设队长 1 名，信息队 3 人并设队长 1 名，后勤组 2 人。甲、乙两位多面手都能担任任一队队长；丙只能担任数学队队长；其余 5 人不能担任队长。问共有多少种组队并确定队长的方案数？

题9

7 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚要组成两个工作组：

• 第一组 3 人，设组长和记录员
• 第二组 2 人，设组长
• 其余 2 人机动

已知：

• 甲、乙是多面手，都可担任上述 3 个岗位中的任意一个
• 丙只能担任两个“组长”岗位之一
• 丁只能担任“第一组记录员”
• 戊、己、庚不能担任任何岗位

问共有多少种安排方法？

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三、详细解析

题1解析

思路

按甲的去向分类最自然。
因为甲四项都能做，一旦甲的岗位确定，其余人的选择会明显收缩。

分类讨论

情况1：甲担任主持人

则乙不能再做主持人，只能做联络员。
剩下计分员、计时员由丙、丁承担：

• 丙可做计分或计时
• 丁可做计时或联络，但联络已被乙占用，所以丁只能做计时

于是丙只能做计分。
本情况共 1 种。

情况2：甲担任计分员

剩下主持人、计时员、联络员由乙、丙、丁承担。

• 丙不能再做计分员，只能做计时员
• 乙可做主持或联络
• 丁可做计时或联络，但计时被丙占用，所以丁只能做联络

于是乙只能做主持。
本情况共 1 种。

情况3：甲担任计时员

剩下主持人、计分员、联络员由乙、丙、丁承担。

• 丁不能再做计时员，只能做联络员
• 乙可做主持或联络，但联络已被丁占用，所以乙做主持
• 丙做计分

本情况共 1 种。

情况4：甲担任联络员

剩下主持人、计分员、计时员由乙、丙、丁承担。

• 乙只能做主持
• 丁只能做计时
• 丙做计分

本情况共 1 种。

总数

$$1+1+1+1=4$$

易错点

不要在甲岗位确定后，想当然地把剩余三人按 $3!$ 排。
因为其余三人也有限制，必须继续逐一筛选。

最终答案

$$\boxed{4}$$

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题2解析

思路

这是最典型的“兼职型多面手”问题。
按甲是否兼任两项分类即可。

情况1：甲只承担 1 项工作

先从 3 项工作中选 1 项给甲，有

$$3$$

种选法。

剩余 2 项工作要分给乙、丙、丁中的 2 人，且岗位不同，所以是排列：

$$A_3^2=3\times 2=6$$

因此本情况共有

$$3\times A_3^2=3\times 6=18$$

种。

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情况2：甲兼任 2 项工作

先从 3 项工作中选 2 项给甲：

$$C_3^2=3$$

剩下 1 项工作交给乙、丙、丁中的任意 1 人：

$$3$$

种。

因此本情况共有

$$C_3^2\times 3=3\times 3=9$$

种。

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总数

$$18+9=27$$

易错点

1. 甲兼任两项时，给甲选的是“两项工作”，所以用 组合 $C_3^2$，不是排列。
2. 甲只做 1 项时，剩下两项工作不同，所以分给另外两人要用 排列 $A_3^2$。

最终答案

$$\boxed{27}$$

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题3解析

思路

这是“一个多面手 + 若干禁岗”的典型容斥问题。
正面分类略麻烦，直接用总数减去不合法情况最简洁。

第一步：求总安排数

4 人做 4 项不同工作，每人 1 项，不考虑限制时共有

$$4!=24$$

种。

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第二步：设坏事件

设

• $E_1$：乙做了 $a$ 工作
• $E_2$：丙做了 $b$ 工作
• $E_3$：丁做了 $c$ 工作

则所求就是“不发生 $E_1,E_2,E_3$”的安排数。

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第三步：求各部分数量

单个坏事件

例如乙做 $a$ 后，剩下 3 人做 3 项工作，有

$$3!=6$$

种。

同理：

$$|E_1|=|E_2|=|E_3|=6$$

两两交集

例如 $E_1\cap E_2$：乙做 $a$，丙做 $b$，剩下甲、丁做 $c,d$ 两项，有

$$2!=2$$

种。

同理：

$$|E_1\cap E_2|=|E_1\cap E_3|=|E_2\cap E_3|=2$$

三者交集

若三件坏事同时发生，则乙做 $a$，丙做 $b$，丁做 $c$，甲只能做 $d$，共有

$$1$$

种。

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第四步：容斥原理

$$\begin{aligned} N &=4!- \left(|E_1|+|E_2|+|E_3|\right) + \left(|E_1\cap E_2|+|E_1\cap E_3|+|E_2\cap E_3|\right) -|E_1\cap E_2\cap E_3| \\ &=24-3\times 6+3\times 2-1 \\ &=24-18+6-1 \\ &=11 \end{aligned}$$

易错点

两两交集不是 1，而是 2!。
因为固定两个人后，剩余两个人仍然可以交换岗位。

最终答案

$$\boxed{11}$$

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题4解析

思路

这题最适合按甲的去向分类。
因为甲只能去 $1,2,3$，且一旦甲确定，其他人的岗位会很快锁定。

情况1：甲做 1 号工作

剩余岗位为 $2,3,4,5$。

• 丙只能做 $1,2$，而 1 已占，所以丙只能做 2
• 丁只能做 $2,4$，2 已占，所以丁做 4
• 戊只能做 $1,5$，1 已占，所以戊做 5
• 乙做 3

本情况 1 种。

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情况2：甲做 2 号工作

剩余岗位为 $1,3,4,5$。

• 丙只能做 $1,2$，所以丙做 1
• 丁只能做 $2,4$，所以丁做 4
• 戊只能做 $1,5$，1 已被丙占，只能做 5
• 乙做 3

本情况 1 种。

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情况3：甲做 3 号工作

剩余岗位为 $1,2,4,5$。

• 乙只能做 $4$ 或 $5$
• 丙做 $1$ 或 $2$
• 丁做 $2$ 或 $4$
• 戊做 $1$ 或 $5$

再分两种：

3.1 乙做 4

则丁不能做 4，只能做 2；
丙只能做 1；
戊做 5。
共 1 种。

3.2 乙做 5

则戊不能做 5，只能做 1；
丁不能做 1，只能做 4；
丙做 2。
共 1 种。

所以本大类共有 2 种。

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总数

$$1+1+2=4$$

易错点

当甲做 3 号工作时，不能把乙看成“有 2 种选法，其余再随便排”。
乙的选择不同，会导致剩余人全部不同，必须继续细分。

最终答案

$$\boxed{4}$$

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题5解析

思路

关键词是“至少有一人担任 3 号或 4 号工作”。
这种“至少”型条件，优先考虑补集思想。

先只看甲、乙的安排。

• 甲可去 $\{1,2,3,4\}$
• 乙可去 $\{3,4,5,6\}$

岗位不能重复。

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第一步：求甲、乙的全部合法选岗数

若不加“至少有一人在 3 或 4”这个条件，甲、乙的岗位选择共有：

$$4\times 4=16$$

种有序选法。

但其中有重复岗位的非法情况：

• 甲、乙都选 3
• 甲、乙都选 4

共 2 种非法。

所以甲、乙合法选岗共有

$$16-2=14$$

种。

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第二步：减去“不符合条件”的情况

不符合题意，就是甲、乙都没有去 3 号或 4 号岗位。

则：

• 甲只能去 $1,2$，共 2 种
• 乙只能去 $5,6$，共 2 种

且此时岗位一定不同，所以共有

$$2\times 2=4$$

种。

因此满足条件的甲、乙选岗方式共有

$$14-4=10$$

种。

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第三步：安排其余四人

甲、乙岗位确定后，剩下 4 个岗位由丙、丁、戊、己任意安排：

$$4!=24$$

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总数

$$10\times 24=240$$

易错点

1. 甲乙全部合法选岗不是 $4\times 4=16$，还要减去“撞岗”的 2 种。
2. 求补集时，甲的岗位在 $\{1,2\}$，乙的岗位在 $\{5,6\}$，这两部分没有重合，所以不用再减冲突。

最终答案

$$\boxed{240}$$

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题6解析

思路

题眼在“甲、乙中恰有一人兼任两项”。
最稳妥的方法是按“谁兼任”分类。

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情况1：甲兼任两项

先从四项工作 $A,B,C,D$ 中选 2 项给甲：

$$C_4^2=6$$

剩下 2 项工作要分给乙、丙、丁、戊中的 2 个不同的人。
因为两项工作不同，所以用排列：

$$A_4^2=4\times 3=12$$

所以本情况共有

$$C_4^2\cdot A_4^2=6\times 12=72$$

种。

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情况2：乙兼任两项

同理也是

$$72$$

种。

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总数

$$72+72=144$$

易错点

1. 剩下两项工作不同，所以分给另外两人时要用 排列 $A_4^2$，不能只用 $C_4^2$。
2. 题目允许有人空闲，因此“另一位多面手”可以承担 1 项，也可以不承担工作，都已包含在 $A_4^2$ 中。

最终答案

$$\boxed{144}$$

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题7解析

思路

这是一道“分组 + 定组长”综合题。
先定组长最关键。

因为 3 个组都要有组长，而丁、戊、己都不能当组长，所以组长只能从甲、乙、丙中产生。
又因为一共刚好 3 个组，所以 甲、乙、丙三人必须全部当组长。

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第一步：安排三位组长去哪个组

已知：

• 甲可去Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
• 乙可去Ⅰ、Ⅱ
• 丙可去Ⅱ、Ⅲ

分类讨论甲的去向：

甲任Ⅰ组组长

则乙只能任Ⅱ组组长，丙任Ⅲ组组长。
共 1 种。

甲任Ⅱ组组长

则乙只能任Ⅰ组组长，丙任Ⅲ组组长。
共 1 种。

甲任Ⅲ组组长

则乙不能任Ⅲ，只能任Ⅰ；丙任Ⅱ。
共 1 种。

所以组长分配共有

$$3$$

种。

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第二步：补入普通组员

剩下丁、戊、己三人，分别进入Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三组，每组补 1 人即可。
这是把 3 个不同的人分到 3 个不同组中：

$$3!=6$$

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总数

$$3\times 6=18$$

易错点

1. 三个组是不同组，所以丁、戊、己的分法是 $3!$，不能除以 $3!$。
2. 先看清“谁能当组长”，否则很容易把普通成员也误算进去。

最终答案

$$\boxed{18}$$

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题8解析

思路

队长是关键岗位，先定两个队长，再补队员。

• 数学队队长：甲、乙、丙都可能
• 信息队队长：只有甲、乙可能

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第一步：确定两个队长

按“数学队队长是谁”分类：

情况1：丙担任数学队队长

则信息队队长只能从甲、乙中选 1 人：

$$2$$

种。

情况2：甲或乙担任数学队队长

若数学队队长是甲，则信息队队长只能是乙；
若数学队队长是乙，则信息队队长只能是甲。
共

$$2$$

种。

所以两个队长的确定方式共有

$$2+2=4$$

种。

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第二步：补两个队的普通成员

两个队长确定后，还剩 6 人。

• 数学队还需 2 人： $$C_6^2$$
• 信息队还需 2 人： $$C_4^2$$
• 最后剩下 2 人自动进入后勤组

故普通成员安排方式共有

$$C_6^2\cdot C_4^2=15\times 6=90$$

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总数

$$4\times 90=360$$

易错点

1. 两个队是不同的队，所以先选数学队再选信息队没有重复。
2. 队长已先固定，后面补队员时不要再重复乘上“选队长”的因子。

最终答案

$$\boxed{360}$$

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题9解析

思路

这题最适合按“关键岗位”来做。
先安排 3 个特殊岗位：

• 第一组组长
• 第一组记录员
• 第二组组长

然后再补普通成员。

记这三个岗位分别为：

• $L_1$：第一组组长
• $R_1$：第一组记录员
• $L_2$：第二组组长

已知：

• 甲、乙可做 $L_1,R_1,L_2$
• 丙可做 $L_1,L_2$
• 丁只可做 $R_1$
• 戊、己、庚不能做特殊岗位

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第一步：先安排记录员 $R_1$

按谁做记录员分类。

情况1：丁做记录员

则两个组长 $L_1,L_2$ 从甲、乙、丙 3 人中选 2 人并排列：

$$A_3^2=6$$

种。

情况2：甲做记录员

则两个组长只能由乙、丙来担任，且两个组长岗位不同，所以有

$$2!=2$$

种。

情况3：乙做记录员

同理也有

$$2$$

种。

所以 3 个特殊岗位的安排总数为

$$6+2+2=10$$

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第二步：补普通成员

此时已经用了 3 个人，还剩 4 个人。

• 第一组还差 1 名普通成员
• 第二组还差 1 名普通成员
• 剩下 2 人机动

先给第一组选 1 人，有 4 种；
再给第二组选 1 人，有 3 种。

故补普通成员共有

$$4\times 3=12$$

种。

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总数

$$10\times 12=120$$

易错点

1. “第一组普通成员”和“第二组普通成员”属于不同组，所以是有先后的，应用 $4\times 3$，不是 $C_4^2$。
2. 若甲做记录员，则乙、丙必须担任两个组长，丁不能去当组长。

最终答案

$$\boxed{120}$$

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四、小结：这类题到底怎么稳

把这 9 题做完后，你会发现“多面手问题”本质上只有三条主线：

1. 按多面手去向分类
2. 按是否兼职分类
3. 结合补集 / 容斥 / 分组定岗处理综合条件

真正容易失分的地方，不是不会算，而是：

• 没看清是否允许空闲
• 没分清岗位是否不同
• 把“选工作”误写成排列
• 把“分给不同岗位”误写成组合
• 综合题没有先抓关键岗位

这套题已经把这些坑基本都覆盖到了。