**提示词：** “你是一个资深的高中数学老师。请帮我收集 8 道经典的**排列问题**。 **核心...

下面整理 8 道只围绕“定序问题”展开的经典排列题，按你的要求分成【基础】2 道、【中等】6 道。每题都给出 两种标准解法：

• 解法一（除法 / 消序法）：先做全排列，再除以定序元素内部的错序数。
• 解法二（选位法 / 空位法）：先给满足定序要求的元素选位置，再排其余元素。

为统一表述，下面默认“排成一排”。

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【基础】1. 五人排队，甲必须在乙的左边

题目：
甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一排，要求甲必须站在乙的左边，共有多少种不同排法？

解法一（除法 / 消序法）

5 人全排列共有

$$A_5^5=5!$$

其中甲、乙两人的先后顺序有 2 种，而题目只允许其中 1 种，所以符合条件的排法数为

$$\frac{A_5^5}{A_2^2}=\frac{5!}{2}=60$$

解法二（选位法 / 空位法）

先从 5 个位置中选出 2 个位置给甲、乙：

$$C_5^2$$

因为要求甲在乙左边，所以一旦选出两个位置，甲、乙的放法只有 1 种。
剩下 3 个位置排丙、丁、戊：

$$A_3^3$$

因此共有

$$C_5^2\cdot A_3^3=10\cdot 6=60$$

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【基础】2. 六人排队，甲、乙、丙三人必须按“甲在乙左边，乙在丙左边”排列

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排成一排，要求甲、乙、丙三人从左到右的相对顺序固定为“甲、乙、丙”，共有多少种排法？

解法一（除法 / 消序法）

6 人全排列共有

$$A_6^6=6!$$

甲、乙、丙三人在全排列中内部可有

$$A_3^3=3!$$

种相对顺序，而题目只允许其中 1 种，所以符合条件的排法数为

$$\frac{A_6^6}{A_3^3}=\frac{6!}{3!}=120$$

解法二（选位法 / 空位法）

先从 6 个位置中选出 3 个位置安排甲、乙、丙：

$$C_6^3$$

由于顺序固定为甲、乙、丙，所以选出 3 个位置后放法只有 1 种。
剩余 3 个位置排丁、戊、己：

$$A_3^3$$

故共有

$$C_6^3\cdot A_3^3=20\cdot 6=120$$

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【中等】3. 六人排队，甲必须在乙左边，且丙不能站在两端

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排成一排，要求甲在乙左边，且丙不能站在最左端和最右端，共有多少种排法？

解法一（除法 / 消序法）

先考虑“丙不能站两端”。
丙可站中间 4 个位置中的任意一个，因此其余 5 人全排列，有

$$4\cdot A_5^5=4\cdot 5!$$

再考虑甲、乙必须满足“甲在乙左边”，将甲乙内部的 2 种顺序消去一半，得

$$\frac{4\cdot A_5^5}{A_2^2} =\frac{4\cdot 5!}{2} =240$$

解法二（选位法 / 空位法）

先给丙选位置：

$$4$$

剩下 5 个位置中选 2 个给甲、乙：

$$C_5^2$$

由于要求甲在乙左边，这两个位置的排法只有 1 种。
剩余 3 个位置排丁、戊、己：

$$A_3^3$$

故共有

$$4\cdot C_5^2\cdot A_3^3 =4\cdot 10\cdot 6 =240$$

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【中等】4. 六人排队，甲必须在乙左边，且丙、丁必须相邻

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排成一排，要求甲在乙左边，且丙、丁两人必须相邻，共有多少种排法？

解法一（除法 / 消序法）

先把丙、丁看成一个整体，则共有 5 个元素参与排列：

$$(\text{丙丁}),\ 甲,\ 乙,\ 戊,\ 己$$

这 5 个元素全排列有

$$A_5^5$$

而丙、丁内部还可交换位置，有

$$A_2^2$$

种。
再考虑甲、乙必须满足甲在乙左边，因此还要除以

$$A_2^2$$

于是共有

$$\frac{A_5^5\cdot A_2^2}{A_2^2} =5!=120$$

解法二（选位法 / 空位法）

先在 6 个位置中选出一对相邻位置给丙、丁。
相邻位置共有

$$5$$

对，而丙、丁内部顺序有

$$A_2^2=2$$

种。
剩下 4 个位置中选 2 个给甲、乙：

$$C_4^2$$

由于甲必须在乙左边，所以只有 1 种放法。
最后剩余 2 个位置排戊、己：

$$A_2^2$$

故共有

$$5\cdot A_2^2\cdot C_4^2\cdot A_2^2 =5\cdot 2\cdot 6\cdot 2 =120$$

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【中等】5. 七人排队，甲、乙、丙顺序固定，且丁不能站最左端

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人排成一排，要求甲、乙、丙三人从左到右顺序固定为甲、乙、丙，且丁不能站最左端，共有多少种排法？

解法一（除法 / 消序法）

先不看定序，只考虑丁不能站最左端。
总排法为

$$A_7^7$$

丁站最左端时，其余 6 人全排列有

$$A_6^6$$

故丁不站最左端的排法为

$$A_7^7-A_6^6=7!-6!=4320$$

再消去甲、乙、丙三人的内部 3! 种顺序，只保留一种，得

$$\frac{A_7^7-A_6^6}{A_3^3} =\frac{5040-720}{6} =720$$

解法二（选位法 / 空位法）

先给丁选位置，因不能在最左端，所以可选

$$6$$

个位置。
剩下 6 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_6^3$$

由于顺序固定为甲、乙、丙，所以只有 1 种放法。
剩余 3 个位置排戊、己、庚：

$$A_3^3$$

故共有

$$6\cdot C_6^3\cdot A_3^3 =6\cdot 20\cdot 6 =720$$

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【中等】6. 七人排队，甲在乙左边，丙在丁左边

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人排成一排，要求甲在乙左边，且丙在丁左边，共有多少种排法？

解法一（除法 / 消序法）

7 人全排列共有

$$A_7^7=7!$$

甲、乙这组中，有 2 种相对顺序，只允许 1 种；
丙、丁这组中，也有 2 种相对顺序，只允许 1 种。
所以符合条件的排法为

$$\frac{A_7^7}{A_2^2\cdot A_2^2} =\frac{7!}{2\cdot 2} =1260$$

解法二（选位法 / 空位法）

先从 7 个位置中选 2 个给甲、乙：

$$C_7^2$$

由于甲在乙左边，只有 1 种放法。
再从剩下 5 个位置中选 2 个给丙、丁：

$$C_5^2$$

由于丙在丁左边，也只有 1 种放法。
剩下 3 个位置排戊、己、庚：

$$A_3^3$$

故共有

$$C_7^2\cdot C_5^2\cdot A_3^3 =21\cdot 10\cdot 6 =1260$$

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【中等】7. 七人排队，甲、乙、丙顺序固定，且丁、戊必须相邻

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人排成一排，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定为甲、乙、丙，且丁、戊两人必须相邻，共有多少种排法？

解法一（除法 / 消序法）

把丁、戊视为一个整体，则共有 6 个元素：

$$(\text{丁戊}),\ 甲,\ 乙,\ 丙,\ 己,\ 庚$$

这 6 个元素全排列有

$$A_6^6$$

其中丁、戊内部可交换：

$$A_2^2$$

甲、乙、丙内部若不限制有

$$A_3^3$$

种顺序，但题目只允许 1 种，所以要除以

$$A_3^3$$

因此共有

$$\frac{A_6^6\cdot A_2^2}{A_3^3} =\frac{6!\cdot 2}{6} =240$$

解法二（选位法 / 空位法）

先在 7 个位置中选出一对相邻位置给丁、戊。
相邻位置对数为

$$6$$

丁、戊内部顺序有

$$A_2^2=2$$

种。
剩下 5 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_5^3$$

且顺序固定为甲、乙、丙，所以只有 1 种放法。
剩余 2 个位置排己、庚：

$$A_2^2$$

故共有

$$6\cdot A_2^2\cdot C_5^3\cdot A_2^2 =6\cdot 2\cdot 10\cdot 2 =240$$

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【中等】8. 八人排队，甲必须在乙左边，且甲、乙都不能站两端

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛 8 人排成一排，要求甲在乙左边，并且甲、乙两人都不能站在最左端和最右端，共有多少种排法？

解法一（除法 / 消序法）

先安排甲、乙的位置。
因为甲、乙都不能在两端，所以他们只能从中间 6 个位置中选 2 个：

$$A_6^2$$

再排其余 6 人：

$$A_6^6$$

这是甲、乙顺序不限时的排法数。
再由于题目要求甲在乙左边，所以除以

$$A_2^2$$

得

$$\frac{A_6^2\cdot A_6^6}{A_2^2} =\frac{6\cdot 5\cdot 6!}{2} =10800$$

解法二（选位法 / 空位法）

先从中间 6 个位置中选 2 个给甲、乙：

$$C_6^2$$

由于甲必须在乙左边，所以放法只有 1 种。
剩余 6 个位置排其余 6 人：

$$A_6^6$$

故共有

$$C_6^2\cdot A_6^6 =15\cdot 720 =10800$$

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【中等】9. 八人排队，甲、乙、丙顺序固定，且丁在戊左边

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛 8 人排成一排，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定为甲、乙、丙，同时丁必须在戊左边，共有多少种排法？

解法一（除法 / 消序法）

8 人全排列共有

$$A_8^8=8!$$

甲、乙、丙三人的相对顺序原本有

$$A_3^3=3!$$

种，只允许 1 种；
丁、戊两人的相对顺序原本有

$$A_2^2=2$$

种，只允许 1 种。
故符合条件的排法数为

$$\frac{A_8^8}{A_3^3\cdot A_2^2} =\frac{8!}{6\cdot 2} =3360$$

解法二（选位法 / 空位法）

先从 8 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_8^3$$

由于顺序固定为甲、乙、丙，所以只有 1 种放法。
再从剩下 5 个位置中选 2 个给丁、戊：

$$C_5^2$$

且丁在戊左边，所以也只有 1 种放法。
最后剩余 3 个位置排己、庚、辛：

$$A_3^3$$

故共有

$$C_8^3\cdot C_5^2\cdot A_3^3 =56\cdot 10\cdot 6 =3360$$

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小结：定序问题的两大模板

1. 除法 / 消序法

若一共有 $n$ 个元素全排列，其中 $m$ 个元素要求相对次序固定，则常用

$$\frac{A_n^n}{A_m^m}$$

因为这 $m$ 个元素本来内部有 $m!$ 种顺序，而题目只允许其中 1 种。

若有两组独立定序，比如一组 3 人、一组 2 人，则常写成

$$\frac{A_n^n}{A_3^3\cdot A_2^2}$$

2. 选位 / 空位法

先给满足定序要求的元素选位置，再按唯一符合条件的顺序填进去，最后排列其余元素。
典型形式：

$$C_n^m\cdot A_{n-m}^{\,n-m}$$

若有两组定序，就继续分步选位。

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