Реши

Раскроем скобки в данных неравенствах:

$$a^2+b^2<(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

откуда

$$0<-2ab \quad\Rightarrow\quad ab<0.$$

Аналогично,

$$b^2+c^2<(b-c)^2=b^2-2bc+c^2$$

даёт

$$0<-2bc \quad\Rightarrow\quad bc<0.$$

Итак, $ab<0$ и $bc<0$. Значит, числа $a$ и $c$ имеют один и тот же знак, то есть

$$ac>0.$$

Теперь рассмотрим $(a+c)^2$:

$$(a+c)^2=a^2+2ac+c^2.$$

Так как $ac>0$, то

$$(a+c)^2>a^2+c^2.$$

Обе части положительны, поэтому можно возвести в квадрат:

$$(a+c)^4>(a^2+c^2)^2.$$

Но

$$(a^2+c^2)^2=a^4+2a^2c^2+c^4>a^4+c^4.$$

Следовательно,

$$(a+c)^4>a^4+c^4.$$

Что и требовалось доказать.

Если хочешь, могу ещё показать совсем короткое решение в 3 строки.