logoChat01.ai

меня интересует второе задание - разложи его подро...

تم الإنشاء في: ١٣ فبراير ٢٠٢٦

تمت الإجابة باستخدام GPT-5.2 Thinking بواسطة Chat01

سؤال

image.pngimage.png

меня интересует второе задание - разложи его подробно по полочкам - в частности как именно нужно выделять точки подозрительные на минимум - там в задании сказано отметить точки где выполняются ККТ - но по какому принципу их выделять и где тут будут точки где выполняются ККТ и опять же по какому принципу нужно их выделить?

Python

python
from PIL import Image, ImageEnhance
img = Image.open('/mnt/data/image.png')
img.size


(1424, 238)

Python

python
import matplotlib.pyplot as plt, numpy as np
plt.figure(figsize=(14,3))
plt.imshow(img)
plt.axis('off')
plt.show()

Python

python
import numpy as np
arr=np.array(img)
# crop around task b
crop = img.crop((0,50,1424,220))
plt.figure(figsize=(14,3))
plt.imshow(crop)
plt.axis('off')
plt.show()

الفكرة

Explaining KKT points for a constrained problem

The user is asking about how to identify points that hold the KKT conditions in a problem with inequality constraints. The basic principle is that these points are possible candidates for local minima, assuming regularity conditions are met. For this problem, I need to mark points where the KKT conditions hold and indicate local minima locations.

Describing the feasible region and KKT conditions

For this non-convex problem, the KKT conditions help identify local optima. The feasible region is defined by two constraints: x2 ≥ 0 and x2 ≤ 1 + x1^2, which forms a region between the x2 = 0 line and a parabola. The KKT conditions include checking gradients and complementary slackness for active constraints at the optimum.

Identifying the global minimum and KKT points

The feasible set is the region between x2 = 0 and x2 = 1 + x1^2, forming an infinite band. The objective function is quadratic and convex, with minimum at (0,1). This point satisfies the constraints and is the global and local minimum. KKT points include those where gradients are zero, but the strict constraints are only met in the interior of the feasible set.

Analyzing KKT conditions for active sets

At (0,1), the boundary condition holds, so no interior stationary points. I check two active sets: (i) g1 is active at x2 = 0, and (ii) g2 is active at x2 = 1 + x1^2. In Case A, setting g1 active leads to a contradiction with λ1, which would be negative. Therefore, this case is not feasible.

Finalizing KKT point analysis

The only KKT point is at (0,1), where the multiplier for the constraint is λ2 = 0. Geometrically, we observe that this point is on the boundary but also satisfies the stationarity condition. The objective is strictly convex, so (0,1) is the unique minimizer. While there could be other touch points, our calculation confirms that the only KKT point is (0,1).

Checking KKT conditions at x2=0

For the constraint x2 = 0, I find that the gradient and multiplier sign conflict. At the point (0, 0), the gradient vector of the objective points downward, but for the KKT conditions to hold, the gradient should point outward, suggesting a positive multiplier. However, the sign of the multiplier doesn't align, indicating failure to satisfy the KKT conditions. The gradient is in the same direction as the feasible region boundary, but the negative multiplier shows it's incomplete.

Understanding KKT and boundary conditions

The feasible side for the constraint g1 requires x2 ≥ 0, so the gradient points outward, but it conflicts with KKT stationarity because the gradient should point into the feasible set. For case g2, at (0,1), the gradient satisfies KKT with a zero multiplier. In general, KKT holds where the gradient aligns with the outward normal, either on boundary corners or at the unconstrained minimizer, like at (0,1).

Exploring the behavior at boundaries and KKT conditions

At x2 = 0, I’m considering whether the ellipse touches the boundary at (0,0), though it’s not minimal. But since the center (0,1) is feasible, it’s already the optimum. For minimization with active constraints, the gradient should be opposite to the outward normal, pointing inward into the feasible region.

Exploring KKT conditions and identifying candidates

I’m logically stepping through the conditions for KKT points. For the boundary, gradient should point inward to minimize the function, but moving upward at (0,0) decreases the objective, making it not optimal. The procedure for finding KKT points involves identifying interior critical points or tangency points on the boundary where the gradients align.

Addressing KKT conditions and regularity evaluation

The unconstrained minimizer at (0,1) satisfies the KKT condition for the boundary x2=1+x1^2. I also verified LICQ (constraint qualification), confirming that gradients of active constraints are non-zero. The feasible set is regular, satisfying Slater's condition. The second part of the problem confirms (0,1) as the only KKT point.

Evaluating KKT conditions geometric interpretation

To identify KKT points, we look for tangencies between ellipses and boundary curves. Starting with (0,1), the global minimum, and considering the boundary x2=0, (0,0) touches but doesn't yield a KKT point. The KKT condition requires a descent direction out of the feasible region, which is violated at (0,0).

Thought for 5m 17s

الإجابة

Ок, давай “по полочкам” именно п. 2(b): как на рисунке без вычислений понять, какие точки надо отмечать как “ККТ-подозрительные”, и почему.

1) Что вообще значит “отметить точки, где выполняются ККТ”

Для задачи

min⁡f(x)s.t.gi(x)≤0\min f(x)\quad \text{s.t.}\quad g_i(x)\le 0

ККТ-точки — это “кандидаты” на локальный минимум (в невыпуклом случае — только кандидаты), т.к. при регулярности (constraint qualification) любой локальный минимум обязан быть ККТ-точкой.

Геометрический смысл (самый полезный для “без вычислений”)

ККТ в 2D можно понимать так:

В ККТ-точке нет допустимого направления, в котором можно уменьшить ff.

А на рисунке это обычно проявляется так:

  1. Внутри области допустимых (ни одно ограничение не активно) кандидатами будут только точки, где
∇f=0\nabla f = 0

(обычный стационарный минимум/седло/максимум).

  1. На гладкой границе с одним активным ограничением кандидат — это точка, где “линия уровня” f=constf=\text{const} касается границы так, что уменьшение ff “хотело бы” идти наружу (в недопустимую сторону).
    Алгебраически это “∇f\nabla f” параллельна нормали к границе, но важна ориентация (знак множителя).

  2. В углу (пересечение 2 ограничений) кандидат — когда −∇f-\nabla f “смотрит наружу”, а ∇f\nabla f лежит в конусе нормалей активных ограничений.

2) Применяем к твоей задаче

Задача

f(x1,x2)=x12+9(x2−1)2f(x_1,x_2)=x_1^2+9(x_2-1)^2

Ограничения:

  • x2≥0x_2\ge 0 (нижняя граница — ось x2=0x_2=0)
  • x2≤1+x12x_2\le 1+x_1^2 (верхняя граница — парабола x2=1+x12x_2=1+x_1^2)

Допустимая область: “полоса” между линией x2=0x_2=0 и параболой x2=1+x12x_2=1+x_1^2.

Пересечений границ (углов) нет, потому что уравнение

0=1+x120=1+x_1^2

не имеет решений.

3) Регулярность допустимого множества (коротко и по делу)

Здесь границы гладкие, и у каждого ограничения градиент на своей границе не нулевой, а “углов” (двух активных сразу) нет.

  • Для x2≥0x_2\ge 0 можно записать g1(x)=−x2≤0g_1(x)=-x_2\le 0, тогда ∇g1=(0,−1)≠0\nabla g_1=(0,-1)\neq 0.
  • Для x2≤1+x12x_2\le 1+x_1^2: g2(x)=x2−1−x12≤0g_2(x)=x_2-1-x_1^2\le 0, ∇g2=(−2x1,1)≠0\nabla g_2=(-2x_1,1)\neq 0 всегда.

Значит стандартная регулярность типа LICQ/MFCQ выполняется на всей границе ⇒ локальные минимумы обязаны удовлетворять ККТ.

4) Как “без вычислений” выделять ККТ-точки на рисунке именно тут

Шаг A. Нарисуй линии уровня f=constf=\text{const}

f=x12+9(x2−1)2f=x_1^2+9(x_2-1)^2 — это эллипсы, центр в точке

(0,1)(0,1)

Причём это точка глобального минимума без ограничений, потому что сумма квадратов.

Шаг B. Проверь: центр эллипсов вообще допустим?

Точка (0,1)(0,1):

  • x2=1≥0x_2=1\ge 0 — ок
  • 1≤1+021 \le 1+0^2 — и даже равенство, то есть лежит на параболе.

👉 Значит самая маленькая “линия уровня” (это фактически точка f=0f=0) уже лежит в допустимой области.

Отсюда сразу:

  • f≥0f\ge 0 всегда (сумма квадратов)
  • в (0,1)(0,1) значение f=0f=0

⇒ ниже уже быть не может, это глобальный минимум на допустимом множестве.

Что отмечать как ККТ-точку на рисунке?

Точку (0,1)(0,1).

Почему она ККТ “по принципу”:

  • в ней ∇f=0\nabla f=0 (центр квадратика),
  • а ККТ допускает, что активное ограничение может иметь множитель 00 (то есть “активно, но не давит”),
  • и главное геометрически: нет допустимого направления, которое уменьшает ff, потому что уже достигли f=0f=0.

5) А почему НЕ надо отмечать точки на x2=0x_2=0, хотя там “похоже на касание”

Линия x2=0x_2=0 — нижняя граница. Если стоять на ней, то можно двигаться вверх (это допустимо) и приближаться к x2=1x_2=1, а значит уменьшать 9(x2−1)29(x_2-1)^2.

То есть на нижней границе всегда есть допустимое направление убывания ff ⇒ это не ККТ-точки.

(Если “перевести” в ККТ-язык: для активного ограничения должно быть так, что уменьшение функции “хочет” выйти наружу, а тут уменьшение как раз происходит внутрь допустимой области.)

6) Итог по твоему вопросу “где тут ККТ и по какому принципу”

Принцип выделения на рисунке:

  • ищешь либо стационарные точки внутри (∇f=0\nabla f=0),
  • либо точки касания линий уровня с границей, где внутрь идти “невыгодно” (нет допустимого спуска),
  • либо углы (если бы были), где −∇f-\nabla f упирается в угол.

В этой задаче:

  • углов нет,
  • внутри стационарных нет (потому что стационарная точка (0,1)(0,1) лежит на границе),
  • остаётся ровно одна ККТ-точка:
(0,1)\boxed{(0,1)}

И она же:

локальный (и глобальный) минимум\boxed{\text{локальный (и глобальный) минимум}}

Если хочешь, я могу словами описать, как именно на листе это красиво оформить: что подписать на рисунке (область, активные границы, стрелки “куда уменьшается ff”), чтобы преподаватель точно засчитал “выделение ККТ-точек без вычислений”.

مشاركة هذا السؤال والجواب