你是无线通信方向的院士，我是大学老师，请详细分析一下下面这篇文章是如何推导基于2D-FFT的OFDM...

下面按“DP-AF（离散周期模糊函数）→FST-AF（快-慢时域模糊函数，2D-FFT可实现）→专门代入OFDM/AFDM→是否考虑ICI”的逻辑，把文中“期望解析解”是怎么推出来的讲清楚（我会尽量把关键等式背后的统计技巧、线性代数结构说透）。

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1) 文章的统一建模：把波形写成“正交基 + i.i.d.星座符号”

论文把通信波形统一写成由任意正交调制基生成、符号独立同分布（i.i.d.）的随机波形，并用**四阶统计量（峰度 κ）**把不同星座的影响压缩到一个参数里，从而推导“平均（期望）模糊函数平方”闭式解。文中明确目标就是对任意调制基推导 average squared DP-AF 与 average squared FST-AF 的闭式表达，再特化到 SC/OFDM/OTFS/AFDM。 (2512.08352v1.pdf)

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2) DP-AF 的期望解析解：核心是把 |sᴴGs|² 的期望化简成“迹 + 峰度项 + 主瓣项”

2.1 DP-AF 的一般形式（把模糊函数写成二次型）

在 DP-AF 框架里，模糊函数本质上是对波形做“离散时移 J + 离散多普勒 D”后的内积。推导到统计平均时，关键一步是把它写成符号向量 s 的二次型：

• 波形由正交基 U 调制：$x = U s$
• DP-AF 对应：$A_{DP}(k,q)$ 可写成 $s^H (U^H D_{N,q} J_{N,k} U) s$

于是问题变成：对 i.i.d. 符号 $s$（单位方差、峰度 κ）求

$$\mathbb{E}\{|s^H G s|^2\},\quad G = U^H D_{N,q}J_{N,k}U$$

论文给出的通用闭式结果（命题2）是： (2512.08352v1.pdf)

$$\mathbb{E}(|A_{DP}(k,q)|^2)= N + (\kappa-2)\sum_{n=1}^N |u_n^H D_{N,q}J_{N,k}u_n|^2 + N^2\delta_{k,0}\delta_{q,0} \tag{52}$$

并进一步用 Cauchy–Schwarz 给出该求和项的界，指出当且仅当 $D_{N,q}J_{N,k}$ 可被 U 对角化时，才能达到“最低旁瓣”（对次高斯 κ<2 情况）。 (2512.08352v1.pdf)

直观理解：

• N：来自二次型的“二阶能量”平均项（类似噪底）。
• (κ−2)×求和：来自 i.i.d. 符号的“四阶矩偏离高斯”的部分（星座分布决定旁瓣可压低/会抬高）。
• N² δδ：主瓣（k=q=0）额外的相干叠加。

2.2 这个公式为什么能闭式？——四阶矩“只剩三类项”

本质是用 i.i.d. 假设把四阶期望拆成：

• 两两配对的二阶项（给出 “N”）
• 同一分量的四阶项（给出 “κ−2” 乘上对角元素能量）
• 全同相干项（只在主瓣出现）

论文在附录里用向量化/置换矩阵把这个拆分写成一个“恒等 + 交换/选择矩阵 + 全1项”的结构（你可以把它理解成 Isserlis/Wick 展开在非高斯 i.i.d. 下的版本），从而得到命题2（52）。 (2512.08352v1.pdf)

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3) DP-AF 特化到 OFDM 与 AFDM：最低旁瓣落在“可对角化的那条线/那一刀切”上

3.1 OFDM 的 average squared DP-AF（只在零多普勒切片出现最低旁瓣）

令 $U=F_N^H$（OFDM 的 IDFT 调制基），论文得到推论1： (2512.08352v1.pdf)

$$\mathbb{E}(|A^{OFDM}_{DP}(k,q)|^2)= N + (\kappa-2)N\,\delta_{q,0} + N^2\delta_{k,0}\delta_{q,0} \tag{59}$$

证明的关键是把命题2里那项求和化简为 $N\delta_{q,0}$： (2512.08352v1.pdf)
这意味着：

• 对次高斯星座（QAM/PSK 常见，κ<2），最低旁瓣沿着 q=0（零多普勒切片）分布。

3.2 AFDM 的 average squared DP-AF（最低旁瓣落在一条“模N直线”上）

论文命题6给出 AFDM： (2512.08352v1.pdf)

$$\mathbb{E}(|A^{AFDM}_{DP}(k,q)|^2)= N + (\kappa-2)N\cdot \delta_{\langle 2Nkc_1-q\rangle_N,0}+N^2\delta_{k,0}\delta_{q,0} \tag{72}$$

并直接解释最低旁瓣位置由

$$\langle q-2Nc_1 k\rangle_N=0$$

这条“模N直线”决定（包含 N 个格点，其中一个是主瓣，所以平均意义下有 N−1 个最低旁瓣）。 (2512.08352v1.pdf)

结构原因：
AFDM 的 chirp-DFT-chirp 基使得某些 $D_{N,q}J_{N,k}$ 组合在那条直线上变成“可对角化”，因此命题2里的 $\sum |(\cdot)|^2$ 达到最大 N（对 κ<2 时反而使旁瓣最小）。

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4) FST-AF：为什么能用 2D-FFT？——把模糊函数变成“对 |X|² 做二维DFT”

DP-AF 是 1D 块内的周期模型；FST-AF 面向“快时间（子载波/采样）×慢时间（脉冲/OFDM符号序列）”的二维信号，更像雷达的快慢时域处理。

4.1 FST-AF 的定义与“2D-DFT 等价式”

文中给出 FST-AF（在小/中等多普勒近似下）：

$$A_{FST}(k,q)=x^H\,(D_{M,q}^* \otimes J_{N,k}^T)\,x$$

其中 $x=\mathrm{vec}(X)$，X 是 N×M 的二维信号块。 (2512.08352v1.pdf)

关键推导是把它写成频域-慢时域功率谱的二维DFT。论文定义 $X_{FT}=F_N X$，然后得到： (2512.08352v1.pdf)

$$A_{FST}=F_N^H\,|X_{FT}|^2\,F_M \tag{42}$$

并解释 $A_{FST}$ 的第 (n,m) 元（对应 k=n−1, q=m−1）就是： (2512.08352v1.pdf)

$$a_{n,m}=\sqrt{MN}\, f_{N,n}^H\,|X_{FT}|^2\,f_{M,m} \tag{43}$$

这一步的工程含义就是：
先做快时间FFT得到 $X_{FT}$，取逐元素能量 $|X_{FT}|^2$，再做二维DFT（可用2D-FFT）就得到整张 FST-AF 图。 (2512.08352v1.pdf)

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5) FST-AF 的期望解析解：依旧是“四阶矩 + 峰度 κ”，但多了一个“2D 基的幅度平方结构”

5.1 一般闭式（命题8）：旁瓣由两部分范数乘积控制

论文命题8给出 average squared FST-AF： (2512.08352v1.pdf)

$$\mathbb{E}(|A_{FST}(k,q)|^2)=MN + M^2N^2\delta_{k,0}\delta_{q,0} +(\kappa-2)MN\, \Big\||V|^2 f^*_{M,q+1}\Big\|^2 \Big\||U^H F_N^H|^2 f_{N,k+1}\Big\|^2 \tag{78}$$

5.2 这个式子怎么推出来的？——把 $a_{n,m}$ 写成 $|Q^H s|^2$ 的线性泛函，再做四阶统计

附录H把 $a_{n,m}$ 逐步变形： (2512.08352v1.pdf)

$$a_{n,m} =\sqrt{MN}(f_{M,m}^T\!\otimes f_{N,n}^H)\,\mathrm{vec}(|F_N U S V|^2) =\sqrt{MN}(f_{M,m}^T\!\otimes f_{N,n}^H)\,|Q^H s|^2 \tag{163}$$

其中 $s=\mathrm{vec}(S)$，$Q = V^T \otimes F_N U$。

接着对 $\mathbb{E}(|a_{n,m}|^2)$ 展开时，出现

$$\mathbb{E}\big(|q_l^H s|^2\,|q_k^H s|^2\big)$$

这就是典型的“二次型的四阶统计”。论文把其结果压缩成： (2512.08352v1.pdf)

$$\mathbb{E}\big(|q_l^H s|^2|q_k^H s|^2\big) = \delta_{l,k}+1+(\kappa-2)\|q_l\odot q_k\|^2 \tag{165}$$

最终得到一个非常清晰的三项结构： (2512.08352v1.pdf)

$$\mathbb{E}(|a_{n,m}|^2)=MN+\|w^H \mathbf{1}\|^2+(\kappa-2)\,\||Q|^2 w\|^2$$

再利用 Kronecker 结构把 $\||Q|^2 w\|^2$ 因式分解成 V 端与 U 端两个范数的乘积（这一步就是命题8里那两个范数项的来源）。 (2512.08352v1.pdf)

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6) FST-AF 特化到 OFDM 与 AFDM（这部分就是你说的“基于2D-FFT的OFDM/AFDM模糊函数期望解析解”）

6.1 OFDM 的 average squared FST-AF：旁瓣在整个(k,q)平面上常数

取 $U=F_N^H, V=I_M$。论文直接得到：因为两个范数都等于 1，所以 FST-AF 的 ESL 在整个延迟-多普勒平面是常数 $(\kappa-1)MN$。 (2512.08352v1.pdf)
（其证明用到了 $\||V|^2 f\|^2=1$ 与 $\||U^H F_N^H|^2 f\|^2=1$ 这类恒等化简。） (2512.08352v1.pdf)

这和 DP-AF 的“最低旁瓣集中在某一条切片”形成鲜明对比：
在 FST-AF/2D-FFT 框架下，OFDM 的平均旁瓣是“均匀铺开”的。

6.2 AFDM 的 average squared FST-AF：旁瓣只与 k 的模N条件有关

论文命题9给出： (2512.08352v1.pdf)

$$\mathbb{E}(|A^{AFDM}_{FST}(k,q)|^2)= M^2N^2\delta_{k,0}\delta_{q,0}+MN+(\kappa-2)MN\cdot\delta_{\langle 2Nc_1 k\rangle_N,0} \tag{94}$$

也就是说：在 FST-AF 中，AFDM 的“最低旁瓣触发条件”变成只约束 k（而不是像 DP-AF 那样是 $q-2Nc_1k$ 的斜线条件）。这来自命题8中 $\||U^H F_N^H|^2 f_{N,k+1}\|^2$ 对 AFDM 基的特殊稀疏/周期结构。

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7) 你最关心的：推导里有没有考虑 ICI（子载波间干扰）？

结论很明确：论文的解析期望解并没有把 ICI 当作一个显式干扰项建模进去；相反，它依赖“ICI 可忽略”的近似条件来成立。

7.1 FST-AF 明确用了“小/中等多普勒 → ICI 可忽略”的 stop-and-go 近似

文中在建立 FST-AF 的回波与匹配滤波输出时，直接说明该近似在“小/中等多普勒、ICI 可忽略”时有效。 (2512.08352v1.pdf)
并且还提到“若多普勒很大，OFDM 会有显著 ICI；可用 ZP 等方式应对”，但这属于讨论/备注，不进入他们的闭式推导框架。 (2512.08352v1.pdf)

因此：命题8/命题9/推论里的 FST-AF 期望解析式，本质是在“ICI≈0”的模型假设下得到的。

7.2 DP-AF 也没有显式考虑“分数多普勒导致的 ICI/泄漏”

DP-AF 框架里，多普勒用离散索引 $q\in \mathbb{Z}_N$ 的 $D_{N,q}$ 来描述，并在周期/循环移位结构下推导匹配滤波输出与模糊函数卷积形式（延迟-多普勒栅格上的离散模型）。 (2512.08352v1.pdf)
这类模型通常隐含“多普勒落在离散频率栅格上（整数 bin）”或者等效地把非整数多普勒误差/ICI 不纳入本次统计分析。

如果你要把 ICI 严格放进来，数学上会发生什么？

• 非整数多普勒会让“理想对角的 $D_{N,q}$”在 DFT 域产生泄漏（Dirichlet 核），于是 OFDM/AFDM 的那些 δ 条件（例如 OFDM 的 δ_{q,0}、AFDM 的 δ_{⟨2Nkc1−q⟩,0} 或 FST-AF 的 δ_{⟨2Nc1k⟩,0}）会被“平滑成旁瓣裙带”，平均 ESL 会抬高。
• 解析上就不再是简单的“可对角化 ⇔ 求和项取到 N”这种干净判据，而要处理分数频移矩阵与基的互相关谱——闭式一般会复杂很多。

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8) 一句话总结你要点

• DP-AF 的期望解析解：来自对 $\mathbb{E}\{|s^H(U^H D J U)s|^2\}$ 的四阶矩展开，最终得到“N + (κ−2)×对角相关能量和 + 主瓣项”的闭式（命题2），再代入 OFDM/AFDM 的 U 得到 δ 结构（OFDM：δ_{q,0}；AFDM：δ_{⟨2Nkc1−q⟩,0}）。 (2512.08352v1.pdf) (2512.08352v1.pdf) (2512.08352v1.pdf)
• FST-AF（2D-FFT可实现）的期望解析解：先证明 $A_{FST}=F_N^H|X_{FT}|^2F_M$（所以能用 2D-FFT），再对 $a_{n,m}$ 写成 $|Q^H s|^2$ 的线性泛函做四阶统计，得到命题8 的闭式，并代入 OFDM/AFDM 得到各自 ESL 结构。 (2512.08352v1.pdf) (2512.08352v1.pdf) (2512.08352v1.pdf)
• ICI 影响：推导中没有把 ICI 显式建模为干扰项；FST-AF 明确依赖“ICI 可忽略”的小/中等多普勒近似，DP-AF 也基本是在离散整数多普勒栅格的模型下推导。 (2512.08352v1.pdf) (2512.08352v1.pdf)

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如果你愿意，我可以继续做两件更“科研/教学”向的事（不需要你再补充材料）：

1. 把 DP-AF 与 FST-AF 的 δ 结构画成统一的“可对角化集合”视角，解释为什么 OFDM/AFDM 在两个框架里最低旁瓣几何形状不同；
2. 给出一个把“分数多普勒（ICI）”并入期望 ESL 的可行推导路线：用 Dirichlet 核把 δ 替换成可积函数，再对 κ 项做近似闭式。