Жеребцов надо разместить в конюшнях. В первой коню...

Итоговый набор занятых стойл после остановки процесса — это максимальное (по включению) множество номеров без соседних: добавить ещё одно стойло уже нельзя.

Обозначим через $f(n)$ число таких возможных итоговых наборов для ряда из $n$ стойл.

Рассмотрим стойло 1.

• Если 1 занято, то 2 обязательно свободно, а на стойлах $3,\dots,n$ остаётся та же задача: $f(n-2)$.
• Если 1 свободно, то для максимальности 2 обязано быть занято (иначе можно было бы поставить жеребца в 1). Тогда 3 свободно, и остаётся задача на стойлах $4,\dots,n$: $f(n-3)$.

Получаем рекурсию:

$$f(n)=f(n-2)+f(n-3).$$

Базы:

• $f(1)=1$ (только $\{1\}$),
• $f(2)=2$ ($\{1\}$ или $\{2\}$),
• $f(3)=2$ ($\{2\}$ или $\{1,3\}$).

Дальше считаем:

$$\begin{aligned} &f(4)=3,\ f(5)=4,\ f(6)=5,\ f(7)=7,\ f(8)=9,\ f(9)=12,\ f(10)=16,\\ &f(11)=21,\ f(12)=28,\ f(13)=37,\ f(14)=49,\ f(15)=65,\ f(16)=86. \end{aligned}$$

Ответ: $86$ различных наборов номеров занятых стойл.

Обозначим через $x_i$ число бельчат на $i$-м дереве ($i=1,\dots,11$).

Дано: на любых трёх соседних деревьях вместе 12 бельчат, то есть для $i=1,\dots,9$

$$x_i+x_{i+1}+x_{i+2}=12,$$

и на втором кедре (это 3-е дерево) $x_3=2$.

Вычтем два соседних равенства:

$$(x_i+x_{i+1}+x_{i+2})-(x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3})=0 \Rightarrow x_i=x_{i+3}.$$

Значит, последовательность периодична с периодом 3:

$$x_1=x_4=x_7=x_{10},\quad x_2=x_5=x_8=x_{11},\quad x_3=x_6=x_9.$$

Из $x_3=2$ получаем $x_6=2$ и $x_9=2$.

Теперь используем сумму для первых трёх деревьев:

$$x_1+x_2+x_3=12 \Rightarrow x_1+x_2+2=12 \Rightarrow x_1+x_2=10.$$

Первый кедр — это дерево 1 ($x_1$), последний кедр — дерево 11, а $x_{11}=x_2$.
Значит, на первом и последнем кедрах вместе:

$$x_1+x_{11}=x_1+x_2=10.$$

Ответ: 10.

Расположим квадрат на координатной плоскости: $A(0,0),\; B(8,0),\; C(8,8),\; D(0,8)$.

Шишка лежит на $CD$ на расстоянии $\frac14\cdot 8=2$ от $D$, значит её точка $P(2,8)$.

Бельчонок бежит из $A$ к стороне $BC$ в точку $M\in BC$, затем из $M$ к $P$. Кратчайший путь при фиксированном $M$ — это ломаная $AM+MP$, и нужно минимизировать $|AM|+|MP|$ по $M\in BC$ (где $BC$ — прямая $x=8$).

Отразим точку $P$ относительно прямой $x=8$. Получим $P'(14,8)$ (потому что $2$ на $6$ левее $8$, значит станет на $6$ правее: $8+6=14$).

Тогда для любой точки $M$ на прямой $x=8$:

$$|MP| = |MP'|,$$

а значит минимизация $|AM|+|MP|$ равносильна минимизации $|AM|+|MP'|$, которая достигается на прямой $AP'$ (по принципу отражения), если точка пересечения с $x=8$ попадает на отрезок $BC$.

Проверим: прямая через $A(0,0)$ и $P'(14,8)$ имеет вид $y=\frac{8}{14}x=\frac{4}{7}x$. При $x=8$ получаем $y=\frac{32}{7}\in[0,8]$, значит всё корректно.

Тогда минимальная длина пути равна $|AP'|$:

$$|AP'|^2 = 14^2+8^2 = 196+64 = 260.$$

Требуется квадрат длины, значит ответ: 260.