logoChat01.ai

Жеребцов надо разместить в конюшнях. В первой коню...

تم الإنشاء في: ٢٤ ديسمبر ٢٠٢٥

تمت الإجابة باستخدام GPT-5.2 Thinking بواسطة Chat01

سؤال

Жеребцов надо разместить в конюшнях. В первой конюшне в ряд располагаются 16 стойл (стойло − огороженное место для одной лошади). Но жеребцов нельзя помещать в соседние стойла. Первого жеребца помещают в любое стойло из 16, второго − в любое стойло, не соседнее с первым, третьего − в любое стойло, не соседнее с первым и вторым, и так далее, пока это возможно. Переводить жеребцов, уже помещённых в стойла, нельзя. Стойла пронумерованы от 1 до 16. Сколько возможно различных наборов номеров занятых стойл в первой конюшне?

Python

python
import itertools, math
def is_indep(S):
    S=set(S)
    for v in S:
        if v-1 in S or v+1 in S: 
            return False
    return True
def is_maximal(S,n):
    S=set(S)
    if not is_indep(S): return False
    for v in range(1,n+1):
        if v not in S:
            # can we add v?
            if (v-1 not in S) and (v+1 not in S):
                return False
    return True
def count_mis(n):
    cnt=0
    sets=[]
    for r in range(n+1):
        for comb in itertools.combinations(range(1,n+1),r):
            if is_maximal(comb,n):
                cnt+=1
                sets.append(comb)
    return cnt, sets
cnt,sets=count_m

86

الفكرة

import itertools, math def is_indep(S): S=set(S) for v in S: if v-1 in S or v+1 in S: return False return True def is_maximal(S,n): S=set(S) if not is_indep(S): return False for v in range(1,n+1): if v not in S: # can we add v? if (v-1 not in S) and (v+1 not in S): return False return True def count_mis(n): cnt=0 sets=[] for r in range(n+1): for comb in itertools.combinations(range(1,n+1),r): if is_maximal(comb,n): cnt+=1 sets.append(comb) return cnt, sets cnt,sets=count_m

86

Thought for 41s

الإجابة

Итоговый набор занятых стойл всегда будет максимальным по свойству “нет соседних”: нельзя добавить ни одно новое стойло, не нарушив запрет на соседство. То есть мы считаем число максимальных независимых множеств в цепочке из 16 вершин (стойла 1–16).

Обозначим через f(n)f(n) число таких наборов для ряда из nn стойл.

Рассмотрим, что происходит со стойлом 1:

  1. Стойло 1 занято. Тогда стойло 2 занять нельзя, а дальше (стойла 3…nn) остаётся такая же задача на n−2n-2 стойлах.
⇒f(n−2)\Rightarrow f(n-2)
  1. Стойло 1 не занято. Тогда, чтобы набор был максимальным, стойло 1 должно быть “заблокировано” соседом, значит стойло 2 обязано быть занято. Тогда стойло 3 нельзя, и остаётся задача на стойлах 4…nn, то есть n−3n-3 стойла.
⇒f(n−3)\Rightarrow f(n-3)

Отсюда рекурсия:

f(n)=f(n−2)+f(n−3)f(n)=f(n-2)+f(n-3)

Базы:

  • f(0)=1f(0)=1 (пустой ряд: один “набор” — пустой),
  • f(1)=1f(1)=1 (только {1}\{1\}),
  • f(2)=2f(2)=2 ({1}\{1\} или {2}\{2\}).

Дальше считаем:

f(3)=2, f(4)=3, f(5)=4, f(6)=5, f(7)=7, f(8)=9,f(9)=12, f(10)=16, f(11)=21, f(12)=28, f(13)=37, f(14)=49, f(15)=65, f(16)=86.\begin{aligned} &f(3)=2,\ f(4)=3,\ f(5)=4,\ f(6)=5,\ f(7)=7,\ f(8)=9,\\ &f(9)=12,\ f(10)=16,\ f(11)=21,\ f(12)=28,\ f(13)=37,\ f(14)=49,\ f(15)=65,\ f(16)=86. \end{aligned}

Ответ: 8686.

سؤال

Маляр покрасил забор, состоящий из одинаковых досок. Первую половину забора он красил со скоростью 40 досок в час, а вторую половину − со скоростью 60 досок в час. Сколько в среднем досок в час красил маляр?

الإجابة

Пусть всего в заборе NN досок. Тогда первую половину (N/2N/2) он красил со скоростью 40 досок/ч, а вторую половину (N/2N/2) — со скоростью 60 досок/ч.

Время:

t1=N/240=N80,t2=N/260=N120t_1=\frac{N/2}{40}=\frac{N}{80},\qquad t_2=\frac{N/2}{60}=\frac{N}{120}

Общее время:

t=t1+t2=N80+N120=3N+2N240=5N240=N48t=t_1+t_2=\frac{N}{80}+\frac{N}{120}=\frac{3N+2N}{240}=\frac{5N}{240}=\frac{N}{48}

Средняя скорость:

v=Nt=NN/48=48v=\frac{N}{t}=\frac{N}{N/48}=48

Ответ: 48 досок в час.

مشاركة هذا السؤال والجواب