In a future where humanity is travelling outside o...

First, let’s estimate the light-travel time from Andromeda to the Milky Way:

• Distance
  (d = 2.5\times10^6;\mathrm{ly}\times9.461\times10^{15};\mathrm{m/ly} \approx 2.37\times10^{22};\mathrm{m}.)

• Travel time

  $$t = \frac{d}{c} = \frac{2.37\times10^{22}\,\mathrm{m}}{3.00\times10^8\,\mathrm{m/s}} \approx 7.90\times10^{13}\;\mathrm{s} \quad(\approx2.5\times10^6\;\mathrm{yr}).$$

Cosmic expansion over that transit will stretch the “ruler” by a fractional amount

$$\frac{\Delta d}{d}\;\approx\;H_0\,t \;=\;(2.27\times10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1})\;(7.90\times10^{13}\,\mathrm{s}) \;\approx\;1.79\times10^{-4}.$$

Hence the absolute error in the distance measurement is

$$\Delta d = d\,\bigl(H_0\,t\bigr) \approx (2.37\times10^{22}\,\mathrm{m})\;(1.79\times10^{-4}) \approx 4.24\times10^{18}\;\mathrm{m}.$$

Converting that back into light-years:

$$\Delta d \approx \frac{4.24\times10^{18}\,\mathrm{m}}{9.461\times10^{15}\,\mathrm{m/ly}} \approx 448\;\mathrm{ly}.$$

---

Answer:
Because the Milky Way–Andromeda signal takes $\sim2.5\times10^6$ years to traverse the void, Hubble expansion leads to an extra $\displaystyle \Delta d\approx H_0\,\frac{d^2}{c}\approx4.2\times10^{18}$ m of “stretch” – roughly 450 light-years of positional error if ignored.

Dưới đây là bản dịch tiếng Việt với ngôn ngữ dễ hiểu và mạch lạc hơn:

---

Tác động của sự giãn nở vũ trụ đến việc định vị giữa các thiên hà

Trong tương lai, khi loài người có thể du hành ra ngoài Ngân Hà, các vệ tinh GPS sẽ được phân bố khắp Cụm Địa phương và xa hơn nữa để hỗ trợ định vị cho các du khách liên ngân hà. Giả sử một người đang ở thiên hà Tiên Nữ (Andromeda), cách chúng ta khoảng 2,5 triệu năm ánh sáng, kết nối với một vệ tinh GPS đặt trong Ngân Hà. Câu hỏi đặt ra: liệu sự giãn nở của vũ trụ có làm sai lệch kết quả định vị không, và nếu có thì sai số là bao nhiêu?

---

Thông số đầu vào:

• Khoảng cách giữa thiên hà Tiên Nữ và Ngân Hà:
  $d = 2.5 \times 10^6$ năm ánh sáng
  (tương đương khoảng $2.37 \times 10^{22}$ mét)

• Hằng số Hubble:
  $H_0 = 2.27 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1}$

• Tốc độ ánh sáng:
  $c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}$

---

Tính toán thời gian ánh sáng đi từ Ngân Hà đến Tiên Nữ:

$$t = \frac{d}{c} \approx \frac{2.37 \times 10^{22}}{3 \times 10^8} \approx 7.9 \times 10^{13} \, \text{giây}$$

Tương đương khoảng 2.5 triệu năm – chính là thời gian tín hiệu GPS cần để đi từ Milky Way đến Andromeda.

---

Ảnh hưởng của sự giãn nở vũ trụ:

Sự giãn nở vũ trụ khiến cho khoảng cách tăng thêm theo công thức:

$$\Delta d = H_0 \cdot d \cdot t$$

Thay số vào:

$$\Delta d = 2.27 \times 10^{-18} \cdot 2.37 \times 10^{22} \cdot 7.9 \times 10^{13} \approx 4.24 \times 10^{18} \, \text{m}$$

Chuyển sang năm ánh sáng:

$$\Delta d \approx \frac{4.24 \times 10^{18}}{9.461 \times 10^{15}} \approx 448 \, \text{năm ánh sáng}$$

---

Kết luận:

Tín hiệu định vị giữa hai thiên hà sẽ có độ sai lệch khoảng 448 năm ánh sáng nếu không tính đến sự giãn nở của vũ trụ. Đây là một sai số khổng lồ trong định vị vũ trụ, cho thấy việc điều hướng liên ngân hà trong tương lai sẽ cần phải tính đến hiệu ứng vũ trụ học này.

---

Nếu bạn muốn mình trình bày bản này thành một infographic hoặc slide trình chiếu, chỉ cần nói nhé!

Hubble’s law, v = H₀ d, already gives the relative recession speed between any two comoving points separated by proper distance d. You don’t need to add “Milky Way’s own motion away from some fixed origin” — there is no unique center of expansion, and both galaxies’ motions are encompassed in that single v=H₀d.

---

1. No double‐counting of “two sides”

• Saying “Andromeda moves away at H₀d” is exactly the same as saying “Milky Way moves away from Andromeda at H₀d.”
• You don’t do v₁+v₂ or integrate twice — Hubble’s law is symmetric and already refers to the rate of change of their separation.

---

2. Integrating H over time

If you really wanted to go beyond the linear estimate Δd≈H₀ d t, you’d solve

$$\frac{d\,d(t)}{dt} \;=\; H(t)\,d(t)\quad\longrightarrow\quad d(t)=d_0\exp\!\Bigl(\int^t\!H(t')\,dt'\Bigr).$$

For a constant H₀ that reduces to

$$d(t)=d_0\,e^{H_0 t},$$

so the accumulated “stretch” is

$$Δd = d_0\bigl(e^{H_0 t}-1\bigr)\approx H_0\,d_0\,t$$

when H₀ t≪1 (which is our case).

---

3. The Local-Group caveat

In reality, Andromeda and the Milky Way are gravitationally bound. That means the local gravitational attraction overcomes the tiny Hubble expansion at ~2.5 Mly scales, and in fact Andromeda is on a collision course toward us at ∼110 km/s!
So:

• There isn’t any net Hubble “stretch” between them to first order.
• The enormous ∼450 ly error we estimated only applies if you treated them as free, comoving test particles in the universal flow — which they aren’t.

---

Take-away

1. You don’t “add” two expansions — v=H₀d already gives the mutual recession rate.
2. If you did want the exact growth, integrate ḋ=H(t)d to get d(t)=d₀ e∫Hdt.
3. But for Milky Way–Andromeda, cosmic expansion is irrelevant: their mutual gravity dominates, and they’re actually converging, not receding.

You’re absolutely right that as the light is en route, the separation keeps growing, which in turn lengthens the travel time… and hence induces yet more expansion. The good news is that you can fold that “feedback” exactly into our calculation by solving the differential equation for the photon’s proper‐distance $D(t)$ in a universe with constant $H_0$.

---

1. Set up the photon–distance equation

Let $D(t)$ be the instantaneous proper distance between the Milky Way and the photon at time $t$, starting from

$$D(0)=D_0\equiv2.37\times10^{22}\,\mathrm{m}\quad(\approx2.5\times10^6\text{ ly}).$$

Because space expands at rate $H_0 D$, but the photon closes distance at speed $c$, the net change is

$$\frac{dD}{dt} \;=\; H_0\,D(t)\;-\;c.$$

---

2. Solve for the arrival time $T$

This linear ODE has general solution

$$D(t)=D_0\,e^{H_0 t}-\frac{c}{H_0}\bigl(e^{H_0 t}-1\bigr).$$

The photon arrives at Andromeda when $D(T)=0$. Imposing

$$0 = D_0\,e^{H_0 T} \;-\;\frac{c}{H_0}\bigl(e^{H_0 T}-1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad D_0 = \frac{c}{H_0}\Bigl(1-e^{-H_0 T}\Bigr)$$

gives

$$T = -\frac{1}{H_0}\ln\!\Bigl(1-\frac{H_0 D_0}{c}\Bigr).$$

---

3. Expand for small $H_0D_0/c$

Numerically

$$\frac{H_0D_0}{c} =\frac{2.27\times10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}\times2.37\times10^{22}\,\mathrm{m}}{3.0\times10^8\,\mathrm{m/s}} \approx1.79\times10^{-4}\ll1,$$

so one finds by the series $\ln(1-x)\approx-\,x-\tfrac12x^2$:

• Leading travel time: $$T\approx\frac{D_0}{c} +\underbrace{\frac{H_0D_0^2}{2\,c^2}}_{\Delta T} \;\approx\;7.90\times10^{13}\,\mathrm{s} +7.1\times10^{9}\,\mathrm{s} \quad(\text{extra }\sim225\text{ years}).$$
• Total expansion “stretch” between departure and arrival is $$\Delta d = D_0\bigl(e^{H_0T}-1\bigr) = D_0\Bigl(\frac1{1-H_0D_0/c}-1\Bigr) \approx\frac{H_0\,D_0^2}{c} \approx4.2\times10^{18}\,\mathrm{m} \approx450\text{ ly}.$$

So yes, the photon takes about 225 years longer than $D_0/c$ thanks to ongoing expansion—but that “extra time” is already built into the exact solution, and the total positional error remains $\sim450$ light-years.

---

4. The real-world caveat

In reality, Andromeda and the Milky Way are gravitationally bound, so on these ∼2.5 Mly scales local gravity overwhelms the tiny Hubble flow—and in fact Andromeda is moving toward us, not away. The cosmic-expansion calculation only applies if you treat them as freely co-moving test particles in pure de Sitter space.