logoChat01.ai

B6v1 = (4096; -4096) B6v2 = ( 64 ; 64) вычисли...

تم الإنشاء في: ٣١ يوليو ٢٠٢٥

تمت الإجابة باستخدام O3 بواسطة Chat01

سؤال

B6v1 = (4096; -4096)

B6v2 = ( 64 ; 64)

вычислите B6e1 и B6e2 Зная их, запишите B6

الفكرة

Considering Euclidean algorithm or LLL

The notation seems to point toward a task about computing the gcd of two integers using the Euclidean algorithm. The vectors B6v1 = (4096, -4096) and B6v2 = (64, 64) might be intermediate steps in this process, especially if we're dealing with the LLL algorithm or Minkowski rewriting. Each iteration could involve calculating new e1 and e2 using methods like Gram-Schmidt, and B6 is likely a 2x2 matrix representing a change in basis. I'll work from here to clarify the next steps.

Breaking down B6v1 and B6v2 relations

It looks like B6v1 = (4096, -4096) and B6v2 = (64, 64) represent images of certain vectors under a matrix transformation, possibly starting with standard basis vectors like v1 = (1,0) and v2 = (0,1). This implies that B6 could be a transformation matrix, but I'm not entirely sure of the relation between v1, v2, and e1, e2 without more context. The question seems tied to the Euclidean algorithm, and these transformations might be finding the gcd of 4096 and 64—it's a bit unclear, so I’ll need to explore further.

Thought for 49 seconds

الإجابة

Предположим, как обычно в подобных заданиях, что

v1=e1−e2,v2=e1+e2,v_1 = e_1 - e_2, \qquad v_2 = e_1 + e_2,

то-есть v1v_1 и v2v_2 выражены через стандартные базисные векторы e1,e2e_1,e_2.

Пусть

B6e1=a=(a1a2),B6e2=b=(b1b2).B_6 e_1 = a = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}, \qquad B_6 e_2 = b = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}.

Тогда

B6v1=B6(e1−e2)=a−b=(4096−4096),B6v2=B6(e1+e2)=a+b=(6464).\begin{aligned} B_6 v_1 &= B_6(e_1-e_2)=a-b = \begin{pmatrix}4096\\-4096\end{pmatrix},\\[6pt] B_6 v_2 &= B_6(e_1+e_2)=a+b = \begin{pmatrix}64\\64\end{pmatrix}. \end{aligned}

Складывая и вычитая эти равенства, получаем

2a=(4096+64,  −4096+64)=(4160, −4032)    ⟹    a=(2080, −2016),2b=(64,64)−(4096,−4096)=(−4032,  4160)    ⟹    b=(−2016,  2080).\begin{aligned} 2a &= (4096+64,\; -4096+64) = (4160,\,-4032) \;\;\Longrightarrow\;\; a = \Bigl(2080,\,-2016\Bigr),\\[4pt] 2b &= (64,64)-(4096,-4096) = (-4032,\;4160) \;\;\Longrightarrow\;\; b = \Bigl(-2016,\;2080\Bigr). \end{aligned}

Отсюда

 B6e1=(2080; −2016) , B6e2=(−2016; 2080) .\boxed{\,B_6 e_1 = (2080;\,-2016)\,}, \qquad \boxed{\,B_6 e_2 = (-2016;\,2080)\,}.

Записав эти векторы столбцами, имеем саму матрицу B6B_6:

B6=(2080−2016−20162080).B_6= \begin{pmatrix} 2080 & -2016\\ -2016 & 2080 \end{pmatrix}.

سؤال

Сопоставьте преобразованиям плоскости наибольшее количество неколлинеарных собственных векторов, которое можно выбрать(0, 1, 2 или бесконечно много).

cимметрия относительно прямой x=y

проекция на прямую x=y

симметрия относительно начала координат

гомотетия относительно начала координат

الفكرة

Exploring eigenvectors of transformations

The user is asking about matching transformations of the plane to the maximal number of linearly independent eigenvectors they can have.

First case: reflection across the x=y line has two distinct eigenvalues (+1 and -1), so we can pick 2 non-collinear eigenvectors. For the projection onto x=y, since it’s a 1D subspace, it’ll only have 1 eigenvector. Each transformation needs to be considered for its unique characteristics.

Reviewing eigenvectors

In these transformations, reflections and projections give 2 non-collinear eigenvectors (distinct directions). For reflection through the origin, however, there are infinitely many eigenvectors, since every direction is a valid eigenvector. In homothety, as scaling factors change, the transformation also results in infinitely many eigenvectors—every vector is an eigenvector as long as the scaling factor isn’t 1 or 0. In essence, the answer often points to "infinite" non-collinear eigenvectors for several transformations, except when restrictions apply.

Thought for 38 seconds

الإجابة

Сколько неколлинеарных собственных векторов можно выбрать

ПреобразованиеНаибольшее число неколлинеарных СВПояснение (матрица в базисе e1,e2e_1,e_2)
Симметрия относительно прямой x=yx=y2S=(0110)S=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.<br>Собственные значения +1+1 (на прямой x=yx=y) и −1-1 (на прямой x=−yx=-y); дают два взаимно-перпендикулярных направления (1,1) (1,1) и (1,−1)(1,-1).
Проекция на прямую x=yx=y2P=12 ⁣(1111)P=\dfrac12\!\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.<br>λ1=1\lambda_1=1 на x=yx=y, λ0=0\lambda_0=0 на x=−yx=-y. Два независимых направления.
Симметрия относительно начала координат (центральная)бесконечно многоC=−IC=-I.<br> λ=−1\lambda=-1 с кратностью 2, вся плоскость – собственное подпространство; можно взять сколько угодно непараллельных СВ.
Гомотетия относительно начала координат (масштаб k≠0k\neq0)бесконечно многоH=kIH=kI.<br>Одно значение λ=k\lambda=k кратности 2; как и выше, любой ненулевой вектор является собственным.

Ответ-соответствие:

  • симметрия x=yx=y → 2
  • проекция на x=yx=y → 2
  • симметрия относительно начала → ∞
  • гомотетия относительно начала → ∞

مشاركة هذا السؤال والجواب