氢原子的好量子数是什么

在氢原子（只考虑库仑势、忽略自旋-轨道耦合等精细结构效应）的哈密顿量

H=\frac{{\mathbf p}^2}{2m_e}-\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_0 r}

中，凡是 与 $H$ 对易 的算符，其本征值就是“好量子数”（good quantum number）。满足这一条件的标准一组量子数为：

量子数	物理意义	取值	对应守恒量
$n$	主量子数（能级）	$n = 1,2,3,\dots$	能量 $E_n$
$l$	轨道角动量量子数	$l = 0,1,\dots,n-1$	角动量平方 $L^2$
$m_l$	轨道磁量子数	$m_l = -l,\dots,l$	角动量 $L_z$
$m_s$	自旋磁量子数	$m_s = \pm \tfrac12$	自旋 $S_z$ （氢原子自旋与轨道相互独立时）

为什么它们“好”
这些量子数对应的算符 $\{H,L^2,L_z,S_z\}$ 两两对易，因此可同时对角化；测量其中一个不会破坏另一个的确定性。
需要注意的细节
- 在不包含自旋-轨道耦合时，电子自旋与轨道彼此独立，所以 $m_s$ 也是好量子数。
- 若加入精细结构， $L$ 与 $S$ 不再单独守恒，而是总角动量 $J=L+S$ 及其分量 $J_z$ 成为新的好量子数。
- 奇偶宇称 $(-1)^l$ 也常被提及，但它由 $l$ 唯一决定，通常不再单列一个独立量子数。

因此，在非相对论、无精细结构的氢原子模型中， $\boxed{n,\;l,\;m_l,\;m_s}$ 即为完整的“好量子数”集合。

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