math word "claim" and similar words

Question

Answer 1

In mathematical writing, “claim” often means a statement that the author intends to prove—something slightly less formal than a lemma or theorem, yet significant enough to highlight. Authors use “claim” to break down larger arguments into smaller, more digestible steps. Here are some closely related (or synonymous) words that appear in mathematical texts, along with how they’re typically used:

Assertion – Similar to “claim,” often used to state a point that one plans to justify.
Statement – A neutral term referring to any proposition—whether simple or complex—intended to be proved or disproved.
Proposition – A formal statement of interest, often more significant than a “claim” but typically less groundbreaking than a “theorem.”
Lemma – A minor result used as a stepping stone toward proving a more substantial theorem or proposition.
Observation – A statement that is relatively straightforward, often included to clarify a key insight or detail.
Fact – Usually something either well-known or straightforward enough that it can be taken with minimal proof or reference.
Theorem – A major result. “Claim” is almost always less formal than “theorem.”
Corollary – A result that follows quickly or directly from a theorem or proposition.

In general, the choice between “claim,” “proposition,” “theorem,” etc., depends on the importance and difficulty of the statement, as well as the author’s preference and style.

Answer 2

在数学写作中，不同的术语（如“定理”“引理”“命题”“推论”等）往往对应着不同的“分量”或在证明过程中的不同作用，虽然并没有绝对或强制的规定，但常见的用法有以下区分：

定理（Theorem）
- 含义：通常是论文或书中最重要、最核心的结果，也是需要完整、较复杂的证明或推理才能得到的主要结论。
- 特点：定理往往在本领域具备较高的理论地位或重要性。如果一篇文章中只有一两个“最主要”的结论，这些结论大概率会被称为“定理”。
引理（Lemma）
- 含义：为证明更大、更重要的结果（通常是定理）而事先准备的辅助性结论。
- 特点：引理本身不一定有多大独立价值，其地位往往低于定理，更多地是起到“铺路”或“工具”的作用。但有些著名的引理（如泽塔引理、斯基姆引理等）也会因为后续影响很大而广为人知。
命题（Proposition）
- 含义：介于“引理”和“定理”之间，重要性比引理高一些，但通常没有定理那么重要。
- 特点：对于整篇论文或书来讲，“命题”通常是一个有独立价值的论断，证明有一定难度，但尚不足以被作者提升为“定理”。
推论（Corollary）
- 含义：从已经得到的定理或命题中直接或几乎直接推出来的结论。
- 特点：推论往往在证明上不需要太多额外工作，通常是应用前面的结果就可以“顺手”得到的附带结论。但有时推论在应用上也可能很重要。
断言 / 结论 / 事实 / 观察（Assertion / Conclusion / Fact / Observation）
- 含义：这几个词都可以泛指文中要证明或已被证明的“陈述”。
- 特点：
  - 断言（Assertion） 有时与“Claim”相似，多用于作者想阐明一个具体的小结论，然后在下文给出简短的证明。
  - 结论（Conclusion） 通常是对上一段论述的概括或收尾，并不是必须像“定理”那样正式地加上证明；也可以指某一重要结果的最终表述。
  - 事实（Fact） 常用于指一些相对简单、或者在文献和常识中已经熟知的结果，通常直接引用或给出简要理由即可。
  - 观察（Observation） 一般指通过直接计算、例子或简单推断就能看出的现象或简单性质。
Claim（声明 / 断言）
- 含义：英文中常见于非正式或半正式的写法中，用来引出一个需要证明的“声称”。
- 特点：与“引理”或“命题”相比，Claim 的内容通常比较短、证明也相对直接，在论文中可以起到分段论证、让读者更易跟进的作用。

总的来说，这些术语所表达的是一种“层次结构”：

“定理”通常是最重要、最关键的发现或成果；
“引理”主要是为证明定理或更重要的命题服务；
“命题”重要性介于定理和引理之间；
“推论”则常常是定理或命题的“直接衍生产品”；
“Claim”“Assertion”等词则通常用来表述篇幅更短、对后文有辅助作用、或者分段阐述证明思路的小结论。

当然，在具体的数学著作中，作者会按照自己的行文习惯和对结果的主观看法进行命名，给某个结果称为“定理”“命题”或“引理”并没有严格的客观标准，但大多数情况下会遵循以上的惯例和层次感。

Answer 3

在数学文献（尤其是使用 $\LaTeX$ 撰写的论文或书籍）中，通常会通过带编号或无编号的“环境（environment）”来表示定理、引理、命题、推论、断言等。每种环境都有相应的标识方式。最常见的做法是：

使用 $\LaTeX$ 的新定理环境
在导言区（通常是导言区，也可以是主文档开头）先定义好这些环境。比如：

latex
\usepackage{amsthm} % 让 amsthm 来管理定理环境

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section] 
% “[section]” 表示编号依赖于当前章节，生成如“定理 1.1、定理 1.2”等

\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} 
% 和 theorems 同一编号序列，依赖同一个计数器

\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} 
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary} 
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}

% 对于定义、注释等非“定理型”环境，常用下面的风格
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}

这里 theorem、lemma、proposition、corollary、claim 等都会共享一个计数器，并随着章节号的变化自动编号。
当然也可分别给每个环境定义自己的计数器，比如 \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] 而 \newtheorem{lemma}{Lemma}[section]，这样定理与引理将会分开编号（如“定理 1.1、引理 1.1、定理 1.2、引理 1.2”，等等）。

在正文中使用环境并自动编号
比如要写一个定理，可以这样：
```
latex
\begin{theorem}[名字可选]
这是一个定理的陈述……
\end{theorem}
```
- 编译后会自动出现类似“Theorem 1.3”这样的标题。
- 如果想引用，就可以用 \label{thm:xxxx} 并在文中写 Theorem~\ref{thm:xxxx}。
无编号环境
有些时候，我们只是想写一个“定理”或“引理”之类，却不需要在文档中留编号，比如引用大家都很熟知的已知结论，或者给出一些“补充”的非正式陈述，可以用星号形式：
```
latex
\begin{theorem*}
（不带编号的定理文字）
\end{theorem*}
```
但这通常需要在 amsthm 里做类似
```
latex
\newtheorem*{theorem*}{Theorem}
```
的定义，也可以手动写成普通的陈述格式。
名称与记号的风格
- 英文论文中常见的“Theorem X.X”或“Lemma Y.Y”这样的编号。
- 中文写作时则类似“定理 1.1”、“引理 1.2”，前面要么直接写中文“定理”，要么把 theorem 环境改成 \newtheorem{theorem}{定理}[section]。
- 若没有分章节编号，则可能就是“定理 1、定理 2、定理 3……”这样简单地按顺序编号。
对于 Claim、Assertion、Fact、Observation 等
- 如果正文中需要经常声明一些较小的结论，又需要编号方便引用，也可以像上面一样新建环境。例如：
```
latex
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{fact}[theorem]{Fact}
\newtheorem{observation}[theorem]{Observation}
```
- 如果只是偶尔出现，不需要频繁引用，也可以直接用小标题或粗体文字表示：“Claim: XXX”，然后在后面跟简短的证明。
在文献或讲义中的普通表示
如果不用 $\LaTeX$ ，在 Word 或者 Markdown 文档里，你也可以手动写出：
- 定理 3.5　（内容）
- 引理 2.1　（内容）
- 推论 3.6　（内容）
- 等等……
  只不过要自己保证编号一致、引用对应。

总之：

在数学写作中，对“定理、引理、命题、推论、断言”等常用的命名与编号惯例主要依赖于所用的排版工具（通常是 $\LaTeX$ 里的新定理环境）。
不同作者或期刊在用词和格式上也会略有差异，但总体遵从“为重要结论使用定理（Theorem）”“为辅助结论使用引理（Lemma）”等大体约定；编号上常见按章节连续编号的方式。
在具体文档中只需保持一致性（consistent）和可读性（readable）即可。

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