半圆转动惯量计算

要计算一个质量为 $M$、半径为 $R$ 的 半圆形薄板 绕其直径转动时的转动惯量，我们采用积分法。

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第一步：建立坐标系

设半圆位于 $xy$ 平面上，以半圆的中心（即直径的中点）为原点，直径沿 $x$-轴，半圆在上半部分（$y \geq 0$）。

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第二步：质量面密度

半圆的面积为：

$$A = \frac{1}{2} \pi R^2$$

面密度（单位面积质量）为：

$$\sigma = \frac{M}{A} = \frac{M}{\frac{1}{2} \pi R^2} = \frac{2M}{\pi R^2}$$

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第三步：微元元素的选取

选取极坐标微元，面积元 $dA$ 采用 极坐标形式：

$$dA = r \, d\theta \, dr$$

质量元：

$$dm = \sigma dA = \frac{2M}{\pi R^2} r \, dr \, d\theta$$

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第四步：转动惯量的计算

转动惯量的定义：

$$I = \int r^2 \, dm$$

代入 $dm$：

$$I = \int_0^R \int_0^\pi r^2 \cdot \frac{2M}{\pi R^2} r \, dr \, d\theta$$ $$I = \frac{2M}{\pi R^2} \int_0^\pi d\theta \int_0^R r^3 \, dr$$

计算径向积分：

$$\int_0^R r^3 \, dr = \frac{R^4}{4}$$

因此：

$$I = \frac{2M}{\pi R^2} \cdot \pi \cdot \frac{R^4}{4}$$

整理：

$$I = \frac{2M R^2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4}$$ $$I = \frac{1}{2} M R^2$$

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结论

一个半圆形薄板绕其直径转动的转动惯量为

$$I = \frac{1}{2} M R^2$$