logoChat01.ai

Реши задачу

تم الإنشاء في: ١٤ فبراير ٢٠٢٥

تمت الإجابة باستخدام O3 Mini High بواسطة Chat01

سؤال

6789780ымянный.png6789780ымянный.png

Реши задачу

الإجابة

Warning: The response is not complete, would not consume credits.

سؤال

6789780ымянный.png6789780ымянный.png

Реши задачу с картинки

الفكرة

Reasoned for 3m 4s

الإجابة

Разбор задачи

Нужно найти все целые nn, удовлетворя уравнению

n+1  −  n  =  (2−1)2022.\sqrt{n+1}\;-\;\sqrt{n}\;=\;(\sqrt{2}-1)^{2022}.

Обозначим β=2−1\displaystyle \beta = \sqrt{2}-1. Тогда β2022=(2−1)2022\beta^{2022} = (\sqrt{2}-1)^{2022} есть некоторое положительное число меньше 1 (ведь 2−1<1\sqrt{2}-1<1, а показатель 2022 – большое чётное число).

Слева имеем разность корней:

n+1−n  =  (n+1−n)(n+1+n)n+1+n  =  (n+1)−nn+1+n  =  1n+1+n.\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\;=\;\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \;=\;\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \;=\;\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.

Значит исходное уравнение эквивалентно

1n+1+n  =  β2022.\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \;=\; \beta^{2022}.

Отсюда

n+1+n  =  1β2022  =  1(2−1)2022  =  (12−1)2022  =  (2+1)2022,\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \;=\; \frac{1}{\beta^{2022}} \;=\; \frac{1}{(\sqrt{2}-1)^{2022}} \;=\; (\tfrac{1}{\sqrt{2}-1})^{2022} \;=\; (\sqrt{2}+1)^{2022},

так как

12−1  =  2+1.\frac{1}{\sqrt{2}-1} \;=\; \sqrt{2}+1.

Обозначим α=2+1\alpha = \sqrt{2}+1. Тогда система из суммы и разности корней выглядит так:

  1. n+1−n  =  β2022=(2−1)2022\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \;=\; \beta^{2022} = (\sqrt{2}-1)^{2022}.

  2. n+1+n  =  α2022=(2+1)2022.\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \;=\; \alpha^{2022} = (\sqrt{2}+1)^{2022}.

Сложив и вычтя эти равенства, получаем явные формулы для n+1\sqrt{n+1} и n\sqrt{n}:

n+1=(α2022+β2022)2,n=(α2022−β2022)2.\sqrt{n+1} =\frac{(\alpha^{2022} + \beta^{2022})}{2}, \quad \sqrt{n} =\frac{(\alpha^{2022} - \beta^{2022})}{2}.

Следовательно,

n+1  =  (α2022+β20222)2,n  =  (α2022−β20222)2.n+1 \;=\; \bigl(\tfrac{\alpha^{2022} + \beta^{2022}}{2}\bigr)^{2}, \quad n \;=\; \bigl(\tfrac{\alpha^{2022} - \beta^{2022}}{2}\bigr)^{2}.

Но α=2+1\alpha = \sqrt{2}+1 и β=2−1\beta = \sqrt{2}-1 связаны тем, что α β=1\alpha\,\beta = 1. Известно (и легко проверить по биному или по рекуррентным соотношениям), что для целого mm сумма

αm+βm\alpha^{m} + \beta^{m}

оказывается целым числом. Обозначим

pm  =  (2+1)m  +  (2−1)m.p_{m} \;=\; (\sqrt{2}+1)^{m} \;+\; (\sqrt{2}-1)^{m}.

Тогда наше уравнение для m=2022m=2022 даёт:

n+1  =  p20222,n+1  =  (p20222)2.\sqrt{n+1} \;=\; \frac{p_{2022}}{2}, \quad n+1 \;=\; \Bigl(\tfrac{p_{2022}}{2}\Bigr)^{2}.

Отсюда

n  =  (p20222)2  −  1.n \;=\; \Bigl(\tfrac{p_{2022}}{2}\Bigr)^{2} \;-\; 1.

Остаётся понять, что p2022p_{2022} действительно чётно (чтобы p20222\tfrac{p_{2022}}{2} было целым). На практике это так, и можно показать по индукции (или по известным рекуррентным формулам), что все pmp_{m} при целых mm получаются целыми и при этом pmp_{m} оказывается чётным для всех m≥0m\ge0.

Таким образом:

  1. p2022\displaystyle p_{2022} – некоторое большое чётное целое число.
  2. p20222\displaystyle \frac{p_{2022}}{2} – тоже целое.
  3. n  =  (p20222)2−1\displaystyle n \;=\; \Bigl(\frac{p_{2022}}{2}\Bigr)^{2} - 1.

Это и даёт единственное целочисленное решение (ведь функция n+1−n\sqrt{n+1}-\sqrt{n} монотонно убывает при n≥0n\ge0 и ровно один раз пересечёт число β2022∈(0,1)\beta^{2022}\in(0,1)).

Ответ

Все целые решения сводятся к единственному nn, причём

n  =  ((2+1)2022+(2−1)20222)2  −  1.\boxed{n \;=\; \Bigl(\tfrac{(\sqrt{2}+1)^{2022} + (\sqrt{2}-1)^{2022}}{2}\Bigr)^{2} \;-\; 1.}

Это действительно целое число (очень большое) и является единственным решением данного уравнения.

مشاركة هذا السؤال والجواب