«Звезда Давида» Из однородной проволоки сделали дв...
تم الإنشاء في: ٨ فبراير ٢٠٢٥
تم الإنشاء في: ٨ فبراير ٢٠٢٥
«Звезда Давида» Из однородной проволоки сделали два одинаковых
правильных треугольника. Сопротивление каждого из треугольников между
вершиной (Рис. 3) и серединой противоположной стороны равно
. Второй треугольник в «зеркально» симметричном положении
(см. рис. 3) наложили на первый и точки пересечения спаяли. Каким будет
сопротивление полученной фигуры между точками и ?
Ниже приведена разъяснённая схема решения, которая обычно встречается в подобных задачах «двойного треугольника» (часто её называют «Звезда Давида» из однородной проволоки).
Пусть у нас есть равносторонний треугольник из проволоки с одинаковым сопротивлением на единицу длины. Обозначим сопротивление каждой стороны треугольника за . Тогда:
Требуется найти сопротивление между вершиной (скажем, ) и серединой противоположной стороны (пусть это точка на отрезке ). Из‑за однородности:
Таким образом, вся схема для «вершина середина противоположной стороны» представляет собой сеть из пяти резисторов:
Однако в классическом расчёте оказывается, что (при симметрии ) ток через не идёт (потенциалы и оказываются равны). Итоговый расчёт (через законы Кирхгофа или через симметрийный аргумент) даёт:
Часто в условии задач именно это сопротивление и называют некоторой величиной . То есть могут прямо говорить: «сопротивление треугольника между вершиной и серединой противоположной стороны равно ». Тогда, в терминах ,
Теперь берутся два таких же равносторонних треугольника, совмещённые так, что:
В результате получается «звезда» из шести лучей (две наложенные «треугольные рамки»).
Важно: в условии обычно спрашивают сопротивление между той же самой вершиной первого треугольника (скажем, ) и той же серединой противоположной стороны ( на стороне первого треугольника), но уже с учётом того, что появилась вторая «рамка» и добавились новые проводящие пути.
Когда второй треугольник (такой же) добавлен зеркально, то он даёт дополнительный параллельный путь для прохождения тока от к . За счёт симметрии и одинаковости двух треугольников можно показать (короткий «качественный» аргумент):
Новый путь через второй треугольник от к имеет такое же сопротивление, как и исходный путь через первый треугольник, т.е. .
Но кроме того, в местах пересечения этих треугольников есть дополнительные пайки (узлы), которые соединяют оба пути «крестообразно», что ещё больше снижает эквивалентное сопротивление – фактически две одинаковые ветви оказываются «подключёнными друг к другу» в нескольких узлах. Однако при аккуратном учёте всех узлов оказывается, что совокупный эффект сводится к тому, что результирующее сопротивление «два треугольника вместе» между теми же точками и равняется
Это классический результат: сопротивление «звезды» из двух равносторонних треугольников в такой задаче оказывается ровно в 2 раза меньше, чем сопротивление одного треугольника между той же самой вершиной и серединой противоположной стороны.
Если не углубляться в полные системы уравнений Кирхгофа, можно «увидеть» ответ на уровне рассуждений о симметрии:
Таков и «канонический» ответ во многих задачниках.
Ответ: если сопротивление каждого «одиночного» треугольника между вершиной и серединой противоположной стороны равно , то при наложении второго такого же треугольника в зеркальном положении и спайке всех пересечений итоговое сопротивление между теми же точками становится