Количество синих чисел

Piecing together

OK, let me see. Numbers from 1 to 3800 are colored red or blue. If their sum is prime, they’re different. 1 is red. Blue numbers? Let's explore the pattern.

Sifting through possibilities

I’m starting with sums of small numbers to identify color patterns. If the sum is prime and greater than 2, it’s odd. Considering known strategies for even and odd numbers.

Piecing together

OK, let me see: pairing an odd and even number gives an odd, typically odd prime. So, odd numbers are red, and even numbers are blue, except for one duplication.

Aligning color rules

I’m ensuring that odd and even number coloring works—if their sum is prime and greater than 2, they must be different colors, which fits the problem's criteria perfectly.

Confirming the pattern

It’s interesting to see that the "odd numbers red and even numbers blue" scheme consistently satisfies the prime sum condition. This approach is logical and even-handed.

Thought about сумма чисел и простота for 14 seconds

Разберёмся с условием задачи:

1. Все числа $1,2,\dots,3800$ раскрашены в два цвета — красный и синий.
2. Условие раскраски: если сумма двух различных чисел $a$ и $b$ является простым числом, то $a$ и $b$ должны быть окрашены в разные цвета.
3. Известно, что число $1$ окрашено в красный цвет. Требуется найти, сколько среди чисел от $1$ до $3800$ окажется синих.

Наблюдение о парности

Заметим, что кроме простого числа $2$ все остальные простые числа нечетны. Сумма двух различных натуральных чисел может дать простое число $2$ только в случае $1+1$, но тут числа не различны, значит такое условие не учитывается.

Для всех остальных простых чисел (которые не равны 2) верно, что это нечётные числа. Тогда, чтобы сумма $a+b$ оказалась нечётной, одно из чисел должно быть чётным, а другое — нечётным.

Отсюда вытекает простое правило раскраски, удовлетворящее условию задачи:

Все нечётные числа красим в один цвет (например, красный), а все чётные — в другой (синий).

Проверим, что это не противоречит условию:

• Если $a+b$ — простое (и не равно $2$), то $a+b$ нечётно, значит одно из $a$, $b$ чётное, другое нечётное, следовательно, по выбранной схеме они окрашены в разные цвета.
• Сумма, равная $2$, могла бы быть $1+1$, но числа должны быть различными, поэтому такого случая нет.

Так как по условию задачи $1$ — красное, наша раскраска «нечётные = красные, чётные = синие» полностью соответствует всем требованиям.

Подсчёт синих чисел

Теперь осталось посчитать, сколько чётных чисел от $1$ до $3800$. Чётные числа в этом диапазоне — это $2, 4, 6, \dots, 3800$.

Количество таких чисел равно

Следовательно, число синих чисел равно 1900.