Oligopolio IT e Equilibrio
تم الإنشاء في: ٢٥ ديسمبر ٢٠٢٤
سؤال
\section{Modello teorico per mercati Oligopolistici nel settore IT}
Nel settore IT, oligopolizzato da giganti come Google, Microsoft e Apple, le decisioni di investimento in tecnologie innovative ridefiniscono l'intera struttura di mercato.
In questa sezione, si propone quindi un modello a due stadi, di ispirazione oligopolistica, che integra analisi dell’informazione asimmetrica per catturare l’influenza delle politiche ambientali sulla competizione tecnologica nel settore IT.
\subsection{Struttura del modello}
Consideriamo un mercato oligopolistico composto da \( N \) imprese nel settore IT che competono per fornire capacità computazionale (potenza di calcolo) e servizi complementari (cloud storage, intelligenza artificiale, ecc.). Il gioco si articola in due stadi:
\subsection*{Stadio 1: Scelta Tecnologica}
In questo stadio, ogni impresa \( i \) sceglie una tecnologia tra:
\begin{itemize}
\item \textbf{Tecnologia Convenzionale (\( C \))}: Non richiede nuovi investimenti fissi, ma comporta costi variabili legati alle emissioni di carbonio, che sono tassate da una tariffa \( t \).
\item \textbf{Tecnologia Verde (\( V \))}: Richiede un costo fisso \( F_i \) (che può variare tra le imprese) ma riduce o annulla le emissionie.
\end{itemize}
Definiamo la scelta di ciascuna impresa \( i \) come:
\[
\text{Scelta}_i \in \{ C, V \}
\]
\subsection*{Stadio 2: Competizione Cournot}
Una volta scelte le tecnologie, le imprese competono in quantità (alla Cournot).
I costi marginali differiscono a seconda della tecnologia, e il costo fisso
$F_i$ (pagato se si sceglie V) non influenza la decisione di quantità, ma incide sul profitto finale.
\subsection{Informazione asimmetrica}
Nel caso di informazione asimmetrica, ciascuna impresa conosce il proprio $\mathbf{F}_i$ (il costo fisso per adottare $V$) ma non conosce i costi degli altri $\mathbf{F}_j$. Tuttavia, si sa che $\mathbf{F}_j$ sono indipendenti e identicamente distribuiti (i.i.d.) secondo una data distribuzione (ad es. $N(\mu, \sigma^2)$).
Ogni impresa formula credenze sulle decisioni tecnologiche altrui, basate su una regola di scelta che dipende dalla propria realizzazione di $\mathbf{F}_i$. A seconda che la scelta di tecnologia sia osservabile o non osservabile allo stadio 1, si possono innescare dinamiche di leadership/follower o strategie ``nascoste''.
\subsection{Informazione simmetrica}
Nel caso di informazione simmetrica (o completa), si assume che i costi fissi $\mathbf{F}_i$ siano noti a tutte le imprese.
Ogni impresa sa esattamente quanto costerebbe a ciascun concorrente adottare $V$. Ne consegue che le imprese possono prevedere con certezza le scelte tecnologiche altrui (se i payoff sono deterministici), oppure ragionare su un problema di concorrenza perfettamente trasparente in cui l’adozione di $V$ o $C$ viene anticipata o coordinata.
\section{Analisi sotto assunzione di Informazione Asimmetrica}
Consideriamo il primo stadio del modello in cui ogni impresa $i$ deve scegliere tra la Tecnologia Convenzionale ($C$) e la Tecnologia Verde ($V$). Ogni impresa conosce il proprio costo fisso $F_i$ associato alla scelta di $V$, ma non conosce i costi fissi $F_j$ delle altre imprese, che sono distribuiti indipendentemente e identicamente secondo una distribuzione $F \sim N(\mu, \sigma^2)$.
Definiamo i payoff attesi per l'impresa $i$ in base alla scelta tecnologica:
\[
\Pi_i(C) = \mathbb{E}[\pi_i | C] = \mathbb{E}[\pi_i | \text{sceglie } C]
\]
\[
\Pi_i(V) = \mathbb{E}[\pi_i | V] = \mathbb{E}[\pi_i | \text{sceglie } V]
\]
Dove $\pi_i$ è il profitto dell'impresa $i$.
L'impresa $i$ sceglie $V$ se:
\[
\Pi_i(V) \geq \Pi_i(C)
\]
e $C$ altrimenti. Espandendo i payoff:
\[
\mathbb{E}[\pi_i | V] - \mathbb{E}[\pi_i | C] \geq 0
\]
Supponiamo senza perdità di generalità che:
\[
\pi_i(V) = R(V) - c_V(q_i) - F_i
\]
\[
\pi_i(C) = R(C) - c_C(q_i) - t \cdot E_C
\]
dove:
\begin{itemize}
\item $R(V)$ \`e il ricavo con adozione della strategia V, $R(C)$ è il ricavo con strategia C
\item $c_V(q_i)$ e $c_C(q_i)$ sono i costi marginali in base alla tecnologia scelta,
\item $E_C$ sono le emissioni di CO$_2$ per la scelta C (si assume $E_V << E_C \xrightarrow{} E_V=0$),
\item $t$ \`e la tariffa sulle emissioni,
\end{itemize}
\[
R(V) - c_V(q_i) - F_i \geq R(Q) - c_C(q_i) - t \cdot E_C
\]
Semplificando:
\[
R(V)-R(Q) + c_C(q_i) - c_V(q_i) \geq F_i + t \cdot E_C
\]
Definiamo la soglia $\bar{F}$ tale che:
\[
F_i \leq \bar{F} \implies \text{scegliere } V
\]
dove:
\[
\bar{F} = R(V)-R(Q)+c_C(q_i) - c_V(q_i) - t \cdot E
\]
Pertanto, l'impresa $i$ sceglie $V$ se $F_i \leq \bar{F}$.
La probabilità che un'impresa scelta tecnologica sia $V$ \`e:
\[
P(V) = P(F_i \leq \bar{F}) = \Phi\left(\frac{\bar{F} - \mu}{\sigma}\right)
\]
dove $\Phi$ \`e la funzione di distribuzione cumulativa della normale.
\subsection{Equilibrio di Nash Bayesiano nel Secondo Stadio: Competizione Cournot}
Dopo la scelta tecnologica, le imprese competono in quantità secondo il modello di Cournot.
Ogni impresa $i$ sceglie la quantità $q_i$ per massimizzare il proprio profitto $\pi_i$, dato dalle scelte delle altre imprese $q_{-i}$.
Il prezzo di mercato $P$ \`e dato da:
\[
P(Q) = a - bQ
\]
dove $Q = \sum_{j=1}^N q_j$ e $a, b > 0$.
Il profitto di impresa $i$ \`e:
\[
\pi_i = (a - bQ)q_i - c_iq_i - F_i I\{V_i\}
\]
dove:
\begin{itemize}
\item $I\{V_i\}$ \`e l'indicatore che vale 1 se $i$ sceglie $V$, 0 altrimenti,
\item $c_i$ \`e il costo marginale in base alla tecnologia scelta. Rispetto all'analisi dello stadio precedente si assume per questa circostanza che la funzione di costo marginale sia verosimilmente direttamente proporzionale alla quantita $q_i$, secondo una relazione assunta lineare per semplicità.
Quindi
\end{itemize}
\[
c_i = \begin{cases}
c_C & \text{se } i \text{ sceglie } C \\
c_V & \text{se } i \text{ sceglie } V
\end{cases}
\]
Per un dato $Q_{-i} = \sum_{j \neq i} q_j$, l'impresa $i$ massimizza:
\[
\pi_i = (a - b(Q_{-i} + q_i))q_i - c_i q_i - F_i I\{V_i\}
\]
La condizione di primo ordine \`e:
\[
\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} = a - b(Q_{-i} + 2q_i) - c_i = 0
\]
Da cui:
\[
q_i^* = \frac{a - bQ_{-i} - c_i}{2b}
\]
In un equilibrio \emph{simmetrico} (se i costi marginali e le scelte tecnologiche fossero identici), si avrebbe
\[
q^* = \frac{a - c_i}{b(N + 1)}.
\]
Tuttavia, quando diverse imprese scelgono $V$ o $C$, le quantit\`a possono differire. Indichiamo per l’impresa $i$:
\begin{itemize}
\item $q_V^*$ la quantit\`a se $i$ sceglie la tecnologia $V$,
\item $q_C^*$ la quantit\`a se $i$ sceglie la tecnologia $C$.
\end{itemize}
Le scelte delle altre $(N-1)$ imprese sono riassunte (in media o in probabilit\`a) da:
\[
Q_{-i} = \sum_{j \neq i} q_j^* = (N-1) \left[ p q_V^* + (1 - p) q_C^* \right],
\]
dove $p$ \`e la \emph{frazione} (o probabilit\`a) con cui un generico concorrente adotta $V$. Allora:
Sostituendo $Q_{-i}$ nelle espressioni di $q_V^*$ e $q_C^*$, otteniamo il seguente sistema di equazioni:
\[
\begin{cases}
q_V^* = \frac{a - b(N-1)(p q_V^* + (1 - p) q_C^*) - c_V}{2b} \\
q_C^* = \frac{a - b(N-1)(p q_V^* + (1 - p) q_C^*) - c_C}{2b}
\end{cases}
\]
Introduciamo $S = (N-1)(p q_V^* + (1 - p) q_C^*)$ per semplificare il sistema:
\[
\begin{cases}
q_V^* = \frac{a - bS - c_V}{2b} \\
q_C^* = \frac{a - bS - c_C}{2b}
\end{cases}
\]
\subsection{Payoff atteso nell'equilibrio}
Caso $i$ sceglie $V$
Il profitto di $i$ che sceglie $V$ (data la quantit\`a ottima $q_V^*$) \`e:
\[
\pi_i^V = \left[a - b(Q_{-i} + q_V^*)\right] q_V^* - c_V q_V^* - F_i .
\]
Caso $i$ sceglie $C$
Analogamente, se $i$ sceglie $C$ (e produce $q_C^*$), abbiamo:
\[
\pi_i^C = \left[a - b(Q_{-i} + q_C^*)\right] q_C^* - c_C q_C^* - t \cdot E_C .
\]
Una comoda semplificazione nasce dal fatto che, \emph{in corrispondenza della quantit\`a ottima} $q_i^*$, la First Order Condition ci dice:
\[
a - b(Q_{-i} + 2q_i^*) - c_i = 0 \implies a - b(Q_{-i} + q_i^*) - c_i = bq_i^*.
\]
Usando questa relazione, i profitti diventano:
Se $i$ sceglie $V$:
\[
\pi_i^V = \left[bq_V^*\right]q_V^* - F_i = b(q_V^*)^2 - F_i .
\]
Se $i$ sceglie $C$:
\[
\pi_i^C = b(q_C^*)^2 - t \cdot E_C .
\]
In altre parole, nell’equilibrio di Cournot (secondo stadio), $\pi_i^V$ e $\pi_i^C$ si esprimono in funzione delle \emph{sole} quantit\`a di equilibrio $(q_V^*, q_C^*)$.
Dal punto di vista dell’impresa $i$, una volta nota la propria $F_i$ (ma \emph{non} i costi fissi degli altri), la scelta tra $V$ e $C$ avviene confrontando il \emph{profitto atteso} nei due casi:
\[
\Pi_i(V) = \pi_i^V = b(q_V^*)^2 - F_i ,
\]
\[
\Pi_i(C) = \pi_i^C = b(q_C^*)^2 - t \cdot E_C .
\]
\subsubsection{Soglia $\bar{F}$ e probabilit\`a $p$}
Come visto nello stadio 1, un’impresa $i$ sceglie $V$ se
\[
\Pi_i(V) \geq \Pi_i(C) \iff b(q_V^*)^2 - F_i \geq b(q_C^*)^2 - t \cdot E_C .
\]
Ossia:
\[
F_i \leq b(q_V^*)^2 - b(q_C^*)^2 + t \cdot E_C .
\]
Definendo:
\[
\bar{F} = b(q_V^*)^2 - b(q_C^*)^2 + t \cdot E_C ,
\]
si ottiene la regola di soglia:
\[
\begin{cases}
F_i \leq \bar{F} \implies \text{impresa } i \text{ sceglie } V, \\
F_i > \bar{F} \implies \text{impresa } i \text{ sceglie } C.
\end{cases}
\]
In questo modo si ottiene una soglia più raffinata rispetto alla formulazione generale fornita per il primo stadio.
In quanto oltre a prendere in causa i ricavi ed i costi della scelta V e C per una certa impresa i, si prendono in esame le quantità nell'equilibrio di cournot per le due scelte
\subsection{Conclusione}
Nell'analisi condotta, abbiamo esaminato il comportamento strategico delle imprese in un contesto di informazione asimmetrica, dove ciascuna impresa conosce il proprio costo fisso associato alla tecnologia verde ($V$) ma non quelli degli altri concorrenti. Attraverso l'introduzione di un equilibrio di Nash Bayesiano nel secondo stadio, basato sulla competizione di Cournot, abbiamo evidenziato come la scelta tecnologica di un'impresa dipenda non solo dai propri costi e dai ricavi associati alle diverse tecnologie, ma anche dalle decisioni degli altri concorrenti.
La definizione della soglia $\bar{F}$ dipende
direttamente dalle quantità di equilibrio $q_V$ e $q_C$ associate alle scelte tecnologiche $V$ e $C$, nonché dalla tariffa sulle emissioni $t$ e dalle emissioni di $CO_2$, $E_C$ legate alla scelta convenzionale. Questa soglia riflette l'interazione strategica tra le imprese nel contesto della competizione di Cournot, dove le scelte di produzione e tecnologia di un'impresa influenzano e sono influenzate dalle scelte delle altre imprese.
\section{\emph{Leaders} e \emph{Followers} in Mercati con Informazione Asimmetrica}
Zhu e Weyant (2003) evidenziano come, in presenza di informazione asimmetrica sui costi di adozione tecnologica, alcune imprese possano assumere il ruolo di \emph{leader} (anticipando l’innovazione) mentre altre preferiscano attendere e posizionarsi come \emph{follower}, beneficiando dello svelamento parziale delle informazioni attraverso l’azione dei primi. In tali contesti, i \emph{leader} sostengono un costo iniziale più elevato (anche in termini di incertezza), ma possono guadagnare vantaggi di mercato. I \emph{follower}, al contrario, rinunciano al potenziale vantaggio di anticipare i concorrenti ma riducono il rischio associato all’adozione di tecnologie non ancora consolidate.
Un esempio concreto nel settore IT è rappresentato dallo sviluppo dei servizi di \emph{cloud computing}:
Amazon (AWS, dal 2006) ha agito da \emph{leader}, sostenendo inizialmente elevati costi di investimento e incertezza sugli effettivi ritorni del modello “pay-as-you-go”.
Microsoft (Azure, dal 2010) e Google (Google Cloud Platform, dal 2011) si sono comportate come \emph{follower}, imparando dal posizionamento di Amazon, sia in termini di tecnologie adottate sia di strutture tariffarie, riducendo così i rischi grazie alla maggiore informazione disponibile.
Un altro esempio storico è la gara allo sviluppo dei sistemi operativi:
Microsoft ha assunto di fatto un ruolo di \emph{leader} diffondendo massicciamente Windows (dal 1985, con commercializzazione ampia negli anni ’90), creando uno standard de facto nei PC, e sostenendo i costi d’implementazione di un sistema operativo rivolto al grande pubblico.
Apple con macOS e successivamente altri player hanno seguito come \emph{follower}, cogliendo le informazioni rese disponibili dalle prime versioni di Windows sui reali bisogni degli utenti.
In entrambi i casi, la diversa percezione (e disponibilità) di informazioni sui costi di sviluppo e sulle opportunità di mercato ha incentivato la formazione di dinamiche di \emph{leadership} e di \emph{follower} coerenti con quanto osservato anche nel contesto analitico proposto da Zhu e Weyant (2003).
Adesso dati i risultati e l'analisi fatta nella sezione modello teorico per mercati oligopolistici con informazione asimmetrica, devi dimostrare analiticamente la formazione di meccanismi follower-leader. Non deve essere una spiegazione discorsiva ma deve essere proprio un procedimento analitico tale per cui attraverso il modello teorico ricavato precedentemente e le varie quantità nell'equilibrio di cournot, si dimostra effettivamente come si forma un meccanismo di azienda leader e azienda follower, si ricavano analiticamente le condizioni necessarie perché si verifichi questo meccanismo ovviamente circoscritte al modello ricavato. Si mostrano anche sinteticamente le implicazioni di un meccanismo di leader follower.
Sii estremamente rigoroso e preciso, sì molto sintetico e prediligi formalismi e dimostrazioni matematiche rispetto a spiegazioni discorsive
Nel settore IT, oligopolizzato da giganti come Google, Microsoft e Apple, le decisioni di investimento in tecnologie innovative ridefiniscono l'intera struttura di mercato.
In questa sezione, si propone quindi un modello a due stadi, di ispirazione oligopolistica, che integra analisi dell’informazione asimmetrica per catturare l’influenza delle politiche ambientali sulla competizione tecnologica nel settore IT.
\subsection{Struttura del modello}
Consideriamo un mercato oligopolistico composto da \( N \) imprese nel settore IT che competono per fornire capacità computazionale (potenza di calcolo) e servizi complementari (cloud storage, intelligenza artificiale, ecc.). Il gioco si articola in due stadi:
\subsection*{Stadio 1: Scelta Tecnologica}
In questo stadio, ogni impresa \( i \) sceglie una tecnologia tra:
\begin{itemize}
\item \textbf{Tecnologia Convenzionale (\( C \))}: Non richiede nuovi investimenti fissi, ma comporta costi variabili legati alle emissioni di carbonio, che sono tassate da una tariffa \( t \).
\item \textbf{Tecnologia Verde (\( V \))}: Richiede un costo fisso \( F_i \) (che può variare tra le imprese) ma riduce o annulla le emissionie.
\end{itemize}
Definiamo la scelta di ciascuna impresa \( i \) come:
\[
\text{Scelta}_i \in \{ C, V \}
\]
\subsection*{Stadio 2: Competizione Cournot}
Una volta scelte le tecnologie, le imprese competono in quantità (alla Cournot).
I costi marginali differiscono a seconda della tecnologia, e il costo fisso
$F_i$ (pagato se si sceglie V) non influenza la decisione di quantità, ma incide sul profitto finale.
\subsection{Informazione asimmetrica}
Nel caso di informazione asimmetrica, ciascuna impresa conosce il proprio $\mathbf{F}_i$ (il costo fisso per adottare $V$) ma non conosce i costi degli altri $\mathbf{F}_j$. Tuttavia, si sa che $\mathbf{F}_j$ sono indipendenti e identicamente distribuiti (i.i.d.) secondo una data distribuzione (ad es. $N(\mu, \sigma^2)$).
Ogni impresa formula credenze sulle decisioni tecnologiche altrui, basate su una regola di scelta che dipende dalla propria realizzazione di $\mathbf{F}_i$. A seconda che la scelta di tecnologia sia osservabile o non osservabile allo stadio 1, si possono innescare dinamiche di leadership/follower o strategie ``nascoste''.
\subsection{Informazione simmetrica}
Nel caso di informazione simmetrica (o completa), si assume che i costi fissi $\mathbf{F}_i$ siano noti a tutte le imprese.
Ogni impresa sa esattamente quanto costerebbe a ciascun concorrente adottare $V$. Ne consegue che le imprese possono prevedere con certezza le scelte tecnologiche altrui (se i payoff sono deterministici), oppure ragionare su un problema di concorrenza perfettamente trasparente in cui l’adozione di $V$ o $C$ viene anticipata o coordinata.
\section{Analisi sotto assunzione di Informazione Asimmetrica}
Consideriamo il primo stadio del modello in cui ogni impresa $i$ deve scegliere tra la Tecnologia Convenzionale ($C$) e la Tecnologia Verde ($V$). Ogni impresa conosce il proprio costo fisso $F_i$ associato alla scelta di $V$, ma non conosce i costi fissi $F_j$ delle altre imprese, che sono distribuiti indipendentemente e identicamente secondo una distribuzione $F \sim N(\mu, \sigma^2)$.
Definiamo i payoff attesi per l'impresa $i$ in base alla scelta tecnologica:
\[
\Pi_i(C) = \mathbb{E}[\pi_i | C] = \mathbb{E}[\pi_i | \text{sceglie } C]
\]
\[
\Pi_i(V) = \mathbb{E}[\pi_i | V] = \mathbb{E}[\pi_i | \text{sceglie } V]
\]
Dove $\pi_i$ è il profitto dell'impresa $i$.
L'impresa $i$ sceglie $V$ se:
\[
\Pi_i(V) \geq \Pi_i(C)
\]
e $C$ altrimenti. Espandendo i payoff:
\[
\mathbb{E}[\pi_i | V] - \mathbb{E}[\pi_i | C] \geq 0
\]
Supponiamo senza perdità di generalità che:
\[
\pi_i(V) = R(V) - c_V(q_i) - F_i
\]
\[
\pi_i(C) = R(C) - c_C(q_i) - t \cdot E_C
\]
dove:
\begin{itemize}
\item $R(V)$ \`e il ricavo con adozione della strategia V, $R(C)$ è il ricavo con strategia C
\item $c_V(q_i)$ e $c_C(q_i)$ sono i costi marginali in base alla tecnologia scelta,
\item $E_C$ sono le emissioni di CO$_2$ per la scelta C (si assume $E_V << E_C \xrightarrow{} E_V=0$),
\item $t$ \`e la tariffa sulle emissioni,
\end{itemize}
\[
R(V) - c_V(q_i) - F_i \geq R(Q) - c_C(q_i) - t \cdot E_C
\]
Semplificando:
\[
R(V)-R(Q) + c_C(q_i) - c_V(q_i) \geq F_i + t \cdot E_C
\]
Definiamo la soglia $\bar{F}$ tale che:
\[
F_i \leq \bar{F} \implies \text{scegliere } V
\]
dove:
\[
\bar{F} = R(V)-R(Q)+c_C(q_i) - c_V(q_i) - t \cdot E
\]
Pertanto, l'impresa $i$ sceglie $V$ se $F_i \leq \bar{F}$.
La probabilità che un'impresa scelta tecnologica sia $V$ \`e:
\[
P(V) = P(F_i \leq \bar{F}) = \Phi\left(\frac{\bar{F} - \mu}{\sigma}\right)
\]
dove $\Phi$ \`e la funzione di distribuzione cumulativa della normale.
\subsection{Equilibrio di Nash Bayesiano nel Secondo Stadio: Competizione Cournot}
Dopo la scelta tecnologica, le imprese competono in quantità secondo il modello di Cournot.
Ogni impresa $i$ sceglie la quantità $q_i$ per massimizzare il proprio profitto $\pi_i$, dato dalle scelte delle altre imprese $q_{-i}$.
Il prezzo di mercato $P$ \`e dato da:
\[
P(Q) = a - bQ
\]
dove $Q = \sum_{j=1}^N q_j$ e $a, b > 0$.
Il profitto di impresa $i$ \`e:
\[
\pi_i = (a - bQ)q_i - c_iq_i - F_i I\{V_i\}
\]
dove:
\begin{itemize}
\item $I\{V_i\}$ \`e l'indicatore che vale 1 se $i$ sceglie $V$, 0 altrimenti,
\item $c_i$ \`e il costo marginale in base alla tecnologia scelta. Rispetto all'analisi dello stadio precedente si assume per questa circostanza che la funzione di costo marginale sia verosimilmente direttamente proporzionale alla quantita $q_i$, secondo una relazione assunta lineare per semplicità.
Quindi
\end{itemize}
\[
c_i = \begin{cases}
c_C & \text{se } i \text{ sceglie } C \\
c_V & \text{se } i \text{ sceglie } V
\end{cases}
\]
Per un dato $Q_{-i} = \sum_{j \neq i} q_j$, l'impresa $i$ massimizza:
\[
\pi_i = (a - b(Q_{-i} + q_i))q_i - c_i q_i - F_i I\{V_i\}
\]
La condizione di primo ordine \`e:
\[
\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} = a - b(Q_{-i} + 2q_i) - c_i = 0
\]
Da cui:
\[
q_i^* = \frac{a - bQ_{-i} - c_i}{2b}
\]
In un equilibrio \emph{simmetrico} (se i costi marginali e le scelte tecnologiche fossero identici), si avrebbe
\[
q^* = \frac{a - c_i}{b(N + 1)}.
\]
Tuttavia, quando diverse imprese scelgono $V$ o $C$, le quantit\`a possono differire. Indichiamo per l’impresa $i$:
\begin{itemize}
\item $q_V^*$ la quantit\`a se $i$ sceglie la tecnologia $V$,
\item $q_C^*$ la quantit\`a se $i$ sceglie la tecnologia $C$.
\end{itemize}
Le scelte delle altre $(N-1)$ imprese sono riassunte (in media o in probabilit\`a) da:
\[
Q_{-i} = \sum_{j \neq i} q_j^* = (N-1) \left[ p q_V^* + (1 - p) q_C^* \right],
\]
dove $p$ \`e la \emph{frazione} (o probabilit\`a) con cui un generico concorrente adotta $V$. Allora:
Sostituendo $Q_{-i}$ nelle espressioni di $q_V^*$ e $q_C^*$, otteniamo il seguente sistema di equazioni:
\[
\begin{cases}
q_V^* = \frac{a - b(N-1)(p q_V^* + (1 - p) q_C^*) - c_V}{2b} \\
q_C^* = \frac{a - b(N-1)(p q_V^* + (1 - p) q_C^*) - c_C}{2b}
\end{cases}
\]
Introduciamo $S = (N-1)(p q_V^* + (1 - p) q_C^*)$ per semplificare il sistema:
\[
\begin{cases}
q_V^* = \frac{a - bS - c_V}{2b} \\
q_C^* = \frac{a - bS - c_C}{2b}
\end{cases}
\]
\subsection{Payoff atteso nell'equilibrio}
Caso $i$ sceglie $V$
Il profitto di $i$ che sceglie $V$ (data la quantit\`a ottima $q_V^*$) \`e:
\[
\pi_i^V = \left[a - b(Q_{-i} + q_V^*)\right] q_V^* - c_V q_V^* - F_i .
\]
Caso $i$ sceglie $C$
Analogamente, se $i$ sceglie $C$ (e produce $q_C^*$), abbiamo:
\[
\pi_i^C = \left[a - b(Q_{-i} + q_C^*)\right] q_C^* - c_C q_C^* - t \cdot E_C .
\]
Una comoda semplificazione nasce dal fatto che, \emph{in corrispondenza della quantit\`a ottima} $q_i^*$, la First Order Condition ci dice:
\[
a - b(Q_{-i} + 2q_i^*) - c_i = 0 \implies a - b(Q_{-i} + q_i^*) - c_i = bq_i^*.
\]
Usando questa relazione, i profitti diventano:
Se $i$ sceglie $V$:
\[
\pi_i^V = \left[bq_V^*\right]q_V^* - F_i = b(q_V^*)^2 - F_i .
\]
Se $i$ sceglie $C$:
\[
\pi_i^C = b(q_C^*)^2 - t \cdot E_C .
\]
In altre parole, nell’equilibrio di Cournot (secondo stadio), $\pi_i^V$ e $\pi_i^C$ si esprimono in funzione delle \emph{sole} quantit\`a di equilibrio $(q_V^*, q_C^*)$.
Dal punto di vista dell’impresa $i$, una volta nota la propria $F_i$ (ma \emph{non} i costi fissi degli altri), la scelta tra $V$ e $C$ avviene confrontando il \emph{profitto atteso} nei due casi:
\[
\Pi_i(V) = \pi_i^V = b(q_V^*)^2 - F_i ,
\]
\[
\Pi_i(C) = \pi_i^C = b(q_C^*)^2 - t \cdot E_C .
\]
\subsubsection{Soglia $\bar{F}$ e probabilit\`a $p$}
Come visto nello stadio 1, un’impresa $i$ sceglie $V$ se
\[
\Pi_i(V) \geq \Pi_i(C) \iff b(q_V^*)^2 - F_i \geq b(q_C^*)^2 - t \cdot E_C .
\]
Ossia:
\[
F_i \leq b(q_V^*)^2 - b(q_C^*)^2 + t \cdot E_C .
\]
Definendo:
\[
\bar{F} = b(q_V^*)^2 - b(q_C^*)^2 + t \cdot E_C ,
\]
si ottiene la regola di soglia:
\[
\begin{cases}
F_i \leq \bar{F} \implies \text{impresa } i \text{ sceglie } V, \\
F_i > \bar{F} \implies \text{impresa } i \text{ sceglie } C.
\end{cases}
\]
In questo modo si ottiene una soglia più raffinata rispetto alla formulazione generale fornita per il primo stadio.
In quanto oltre a prendere in causa i ricavi ed i costi della scelta V e C per una certa impresa i, si prendono in esame le quantità nell'equilibrio di cournot per le due scelte
\subsection{Conclusione}
Nell'analisi condotta, abbiamo esaminato il comportamento strategico delle imprese in un contesto di informazione asimmetrica, dove ciascuna impresa conosce il proprio costo fisso associato alla tecnologia verde ($V$) ma non quelli degli altri concorrenti. Attraverso l'introduzione di un equilibrio di Nash Bayesiano nel secondo stadio, basato sulla competizione di Cournot, abbiamo evidenziato come la scelta tecnologica di un'impresa dipenda non solo dai propri costi e dai ricavi associati alle diverse tecnologie, ma anche dalle decisioni degli altri concorrenti.
La definizione della soglia $\bar{F}$ dipende
direttamente dalle quantità di equilibrio $q_V$ e $q_C$ associate alle scelte tecnologiche $V$ e $C$, nonché dalla tariffa sulle emissioni $t$ e dalle emissioni di $CO_2$, $E_C$ legate alla scelta convenzionale. Questa soglia riflette l'interazione strategica tra le imprese nel contesto della competizione di Cournot, dove le scelte di produzione e tecnologia di un'impresa influenzano e sono influenzate dalle scelte delle altre imprese.
\section{\emph{Leaders} e \emph{Followers} in Mercati con Informazione Asimmetrica}
Zhu e Weyant (2003) evidenziano come, in presenza di informazione asimmetrica sui costi di adozione tecnologica, alcune imprese possano assumere il ruolo di \emph{leader} (anticipando l’innovazione) mentre altre preferiscano attendere e posizionarsi come \emph{follower}, beneficiando dello svelamento parziale delle informazioni attraverso l’azione dei primi. In tali contesti, i \emph{leader} sostengono un costo iniziale più elevato (anche in termini di incertezza), ma possono guadagnare vantaggi di mercato. I \emph{follower}, al contrario, rinunciano al potenziale vantaggio di anticipare i concorrenti ma riducono il rischio associato all’adozione di tecnologie non ancora consolidate.
Un esempio concreto nel settore IT è rappresentato dallo sviluppo dei servizi di \emph{cloud computing}:
Amazon (AWS, dal 2006) ha agito da \emph{leader}, sostenendo inizialmente elevati costi di investimento e incertezza sugli effettivi ritorni del modello “pay-as-you-go”.
Microsoft (Azure, dal 2010) e Google (Google Cloud Platform, dal 2011) si sono comportate come \emph{follower}, imparando dal posizionamento di Amazon, sia in termini di tecnologie adottate sia di strutture tariffarie, riducendo così i rischi grazie alla maggiore informazione disponibile.
Un altro esempio storico è la gara allo sviluppo dei sistemi operativi:
Microsoft ha assunto di fatto un ruolo di \emph{leader} diffondendo massicciamente Windows (dal 1985, con commercializzazione ampia negli anni ’90), creando uno standard de facto nei PC, e sostenendo i costi d’implementazione di un sistema operativo rivolto al grande pubblico.
Apple con macOS e successivamente altri player hanno seguito come \emph{follower}, cogliendo le informazioni rese disponibili dalle prime versioni di Windows sui reali bisogni degli utenti.
In entrambi i casi, la diversa percezione (e disponibilità) di informazioni sui costi di sviluppo e sulle opportunità di mercato ha incentivato la formazione di dinamiche di \emph{leadership} e di \emph{follower} coerenti con quanto osservato anche nel contesto analitico proposto da Zhu e Weyant (2003).
Adesso dati i risultati e l'analisi fatta nella sezione modello teorico per mercati oligopolistici con informazione asimmetrica, devi dimostrare analiticamente la formazione di meccanismi follower-leader. Non deve essere una spiegazione discorsiva ma deve essere proprio un procedimento analitico tale per cui attraverso il modello teorico ricavato precedentemente e le varie quantità nell'equilibrio di cournot, si dimostra effettivamente come si forma un meccanismo di azienda leader e azienda follower, si ricavano analiticamente le condizioni necessarie perché si verifichi questo meccanismo ovviamente circoscritte al modello ricavato. Si mostrano anche sinteticamente le implicazioni di un meccanismo di leader follower.
Sii estremamente rigoroso e preciso, sì molto sintetico e prediligi formalismi e dimostrazioni matematiche rispetto a spiegazioni discorsive
الفكرة
Formulating leader-follower dynamics
I’m working through demonstrating the existence of leader-follower mechanisms in oligopolistic markets, incorporating asymmetric information, focus on precise mathematical proofs and formalism.
Ragionamento per un paio di secondi
الإجابة
\section{Formazione Analitica di Meccanismi Leader-Follower}
In questa sezione, dimostriamo analiticamente la formazione di meccanismi \emph{leader-follower} all'interno del modello oligopolistico precedentemente definito, caratterizzato da informazione asimmetrica. Partiamo dall'equilibrio di Nash Bayesiano determinato nel secondo stadio e identifichiamo le condizioni necessarie affinché si instaurino ruoli distinti di \emph{leader} e \emph{follower} tra le imprese.
\subsection{Definizione dei Ruoli Leader e Follower}
Definiamo un \emph{leader} come un'impresa che sceglie la Tecnologia Verde () anticipando gli altri concorrenti, mentre un \emph{follower} sceglie la Tecnologia Convenzionale () in risposta alle scelte del leader. Formalmente, consideriamo due classi di imprese:
\begin{itemize} \item : insieme dei leader, tali che . \item : insieme dei follower, tali che . \end{itemize}
Supponiamo che e , con .
\subsection{Condizioni di Equilibrio per Leader e Follower}
Per stabilire le condizioni che determinano il comportamento di leader e follower, consideriamo le soglie di costo fisso per entrambe le categorie.
\subsubsection{Leader}
Un'impresa sceglie se:
Quindi:
\subsubsection{Follower}
Un'impresa sceglie se:
Quindi:
Notiamo che .
\subsection{Sistema di Equazioni di Equilibrio}
Consideriamo il sistema di equazioni di Cournot per leader e follower. Definiamo:
Le condizioni di equilibrio sono:
Sostituendo :
Moltiplicando entrambi i lati per :
Espandendo:
Raggruppando i termini:
Fattorizzando :
Quindi:
Da cui si ottengono le quantità di equilibrio:
Semplificando:
Analogamente:
\subsection{Condizioni per il Meccanismo Leader-Follower}
Affinché si verifichi un meccanismo \emph{leader-follower}, devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:
Dove è definita come:
Sostituendo le quantità di equilibrio:
Semplificando:
Questa espressione definisce la soglia in funzione dei parametri del modello e delle scelte tecnologiche delle imprese leader e follower.
\subsection{Implicazioni del Meccanismo Leader-Follower}
Sotto il meccanismo leader-follower, le implicazioni analitiche sono le seguenti:
\begin{enumerate} \item \textbf{Distribuzione dei Costi Fissi}: La scelta di essere \emph{leader} o \emph{follower} dipende dalla posizione del costo fisso rispetto alla soglia . Imprese con adotteranno , assumendo il ruolo di leader.
\item \textbf{Quantità di Mercato}: I leader, scegliendo $V$, influenzano il totale $S$ e, di conseguenza, le quantità $q_V^*$ e $q_C^*$ determinando una struttura di produzione differenziata.
\item \textbf{Profitti}: I profitti dei leader e dei follower sono distinti e dipendono dalle scelte tecnologiche e dalle quantità prodotte. I leader possono ottenere un vantaggio competitivo attraverso una maggiore quota di mercato o costi marginali inferiori.
\item \textbf{Strategie di Investimento}: Le imprese leader devono sostenere un costo fisso maggiore ma possono beneficiare di incentivi ambientali o di una migliore reputazione di mercato, mentre i follower riducono il rischio associato all'adozione di nuove tecnologie.
\end{enumerate}
\subsection{Conclusioni Analitiche}
Abbiamo dimostrato, attraverso il modello di equilibrio di Nash Bayesiano nel contesto di competizione Cournot, che la formazione di meccanismi \emph{leader-follower} è condizionata dalla distribuzione dei costi fissi e dalla soglia . Le condizioni derivanti dal modello mostrano come le imprese con costi fissi inferiori alla soglia adottino strategie di leadership tecnologica, influenzando le scelte dei follower. Questo meccanismo genera dinamiche competitive in cui la struttura di mercato è determinata sia dalle scelte tecnologiche sia dalle interazioni strategiche tra le imprese.