Функция F(x) = x²

Функция, которую вы предоставили, выглядит следующим образом:

$F(x) = x^2 \quad \text{для } 0 \leq x \leq 1$

Описание функции:

• Форма функции: Квадратичная функция.
• Область определения: $0 \leq x \leq 1$.
• Поведение функции:
  • В начале интервала ($x = 0$) значение функции равно 0.
  • В конце интервала ($x = 1$) значение функции равно 1.
  • Функция является возрастающей на всем интервале $[0, 1]$.

График функции:

График функции $F(x) = x^2$ на промежутке от 0 до 1 представляет собой параболу, начинаясь в точке (0,0) и заканчиваясь в точке (1,1).

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение, пожалуйста, сообщите!

Да, вы правильно вычислили функцию $F(x)$ как определённый интеграл функции $f(t) = 2t$ от 0 до $x$. Давайте рассмотрим этот процесс подробнее.

Дано:

$f(t) = 2t$

Необходимо найти:

$F(x) = \int_{0}^{x} 2t \, dt$

Шаги решения:

1. Вычисление неопределённого интеграла:

   $$\int 2t \, dt = t^2 + C$$

   Здесь $C$ — постоянная интегрирования.

2. Вычисление определённого интеграла от 0 до $x$:

   $$F(x) = \left[ t^2 \right]_{0}^{x} = x^2 - 0^2 = x^2$$

   Таким образом, константа $C$ отменяется при вычислении разности значений первообразной на границах интегрирования.

Итоговый результат:

$$F(x) = x^2 \quad \text{для } 0 \leq x \leq 1$$

Дополнительное пояснение:

Функция $F(x)$ является первообразной функции $f(t) = 2t$ на промежутке от 0 до 1. Это означает, что производная $F(x)$ равна $f(x)$:

$$F'(x) = \frac{d}{dx} (x^2) = 2x = f(x)$$

Графическое представление:

График функции $F(x) = x^2$ на интервале $[0, 1]$ — это часть параболы, начинающаяся в точке (0, 0) и заканчивающаяся в точке (1, 1).

\begin{tikzpicture} \begin{axis}[ axis lines = middle, xlabel = $x$, ylabel = {$F(x)$}, domain=0:1, samples=100, grid = both, ] \addplot [blue, thick] {x^2}; \end{axis} \end{tikzpicture}

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение, пожалуйста, сообщите!

Да, ваш расчёт абсолютно верен. Давайте подробно рассмотрим каждый шаг вычисления функции $F(x)$:

Дано:

$$f(t) = 2t$$

Необходимо найти:

$$F(x) = 2 \int_{0}^{x} t \, dt$$

Шаги решения:

1. Вычисление неопределённого интеграла:

   Начнём с интегрирования функции $t$:

   $$\int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C$$

   Здесь $C$ — константа интегрирования.

2. Вычисление определённого интеграла от 0 до $x$:

   Подставляем пределы интегрирования в первообразную:

   $$\left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{x^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{x^2}{2}$$

3. Умножение на коэффициент 2:

   Теперь умножим результат интегрирования на коэффициент 2:

   $$F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$$

Итоговый результат:

$$F(x) = x^2 \quad \text{для } 0 \leq x \leq 1$$

Дополнительные пояснения:

• Графическое представление:

  Функция $F(x) = x^2$ на промежутке от 0 до 1 представляет собой часть параболы, начинающуюся в точке (0, 0) и заканчивающуюся в точке (1, 1).

  \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ axis lines = middle, xlabel = $x$, ylabel = {$F(x)$}, domain=0:1, samples=100, grid = both, ] \addplot [blue, thick] {x^2}; \end{axis} \end{tikzpicture}

• Проверка производной:

  Функция $F(x) = x^2$ является первообразной функции $f(t) = 2t$, что подтверждается вычислением производной:

  $$F'(x) = \frac{d}{dx} (x^2) = 2x = f(x)$$

Заключение:

Ваше вычисление правильно демонстрирует процесс интегрирования функции $f(t) = 2t$ и получение её первообразной $F(x) = x^2$. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более глубокое объяснение какого-либо шага, пожалуйста, дайте знать!