磁场合成计算

这是一道典型的“分段求磁场再矢量相加”的题目。导线分了三段：

1. 长直导线 $AB$，电流从 $A$ 端流向 $B$。
2. 圆弧导线 $BC$，其圆心在 $O$、半径为 $R$，弧度对应中心角 $60^\circ$。电流从 $B$ 流到 $C$。
3. 长直导线 $CD$，电流从 $C$ 端继续向 $D$ 方向流动。

我们要求“这三段电流在点 $O$ 处的合磁感应强度 $\mathbf{B}$”。

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分段计算

(1) 长直导线 $AB$ 对 $O$ 的贡献

• 由于 $AB$ 为“无限长”或“足够长”的直导线，且点 $O$ 与该直线的垂直距离为 $R$，则它在 $O$ 处产生的磁场大小是

$$B_{AB} \;=\;\frac{\mu_0\,I}{2\pi\,R}.$$

• 方向用右手法则判断：电流从左到右，点 $O$ 位于导线的一侧。右手拇指沿电流方向（从 $A$ 到 $B$），则在 $O$ 处磁场要么“指入纸面”，要么“指出纸面”。从图中看，$O$ 应该在导线的“上方”或“下方”（取决于画法），但大多数教材里若“导线水平、电流左到右、观测点在导线之上”，磁场即“指入纸面（into the page）。”

从题图可见，$O$ 位于导线的“上方”，所以

$$\mathbf{B}_{AB} \text{ 的方向为}\ \boxed{\text{入纸面}}.$$

(2) 长直导线 $CD$ 对 $O$ 的贡献

• 同理，$CD$ 也是一直导线，点 $O$ 到 $CD$ 的垂直距离同样是 $R$，故大小相同：

$$B_{CD} \;=\;\frac{\mu_0\,I}{2\pi\,R}.$$

• 方向：电流从下往上（从 $C$ 向 $D$），右手拇指竖直向上，$O$ 在其“右侧”或“左侧”——从图上看，$O$ 应该在导线右侧；则磁场同样是“入纸面”。

因此

$$\mathbf{B}_{CD} \text{ 的方向也为}\ \boxed{\text{入纸面}}.$$

(3) 圆弧导线 $BC$ 对 $O$ 的贡献

• 对于以 $O$ 为圆心、半径 $R$、中心角 $\theta$ 的圆弧（电流 $I$ 沿弧走），在圆心 $O$ 处的磁场大小是著名公式

$$B_{\text{弧}} \;=\;\frac{\mu_0\,I\,\theta}{4\pi\,R}, \quad \text{($\theta$ 用弧度制)}.$$

• 本题 $\theta = 60^\circ = \pi/3$；将其代入上式，

$$B_{BC} \;=\;\frac{\mu_0\,I\,(\pi/3)}{4\pi\,R} \;=\;\frac{\mu_0\,I}{12\,R}.$$

• 方向：用右手握住弧线，拇指指向电流方向（由 $B \to C$）。从题图可见，这是一段“逆时针”圆弧（从水平方向$B$转到更靠近竖直的$C$），对中心 $O$ 来说，弧线电流产生的磁场“出纸面（out of the page）”。

因此

$$\mathbf{B}_{BC} \text{ 的方向为}\ \boxed{\text{出纸面}}.$$

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矢量合成

令“入纸面”为正方向，“出纸面”为负方向（或反之也可以，只要最后符号一致即可）。则在点 $O$ 处：

$$B_{\text{net}} \;=\; \underbrace{\frac{\mu_0 I}{2\pi R}}_{\text{AB段，入纸面}} \;+\; \underbrace{\frac{\mu_0 I}{2\pi R}}_{\text{CD段，入纸面}} \;-\; \underbrace{\frac{\mu_0 I}{12 R}}_{\text{圆弧BC，出纸面}}.$$

把数值合并：

$$B_{\text{net}} \;=\; 2\,\cdot \frac{\mu_0 I}{2\pi R} \;-\; \frac{\mu_0 I}{12\,R} \;=\; \frac{\mu_0 I}{\pi R} \;-\; \frac{\mu_0 I}{12\,R} \;=\; \frac{\mu_0 I}{R}\Bigl(\frac{1}{\pi}\;-\;\frac{1}{12}\Bigr).$$

再化成统一分母 $12\pi$：

$$B_{\text{net}} \;=\; \frac{\mu_0 I}{R}\;\frac{12 - \pi}{12\,\pi}.$$

方向为“入纸面”（因为两条直导线的贡献合起来比圆弧那部分大）。

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最终答案

$$\boxed{ B_{\text{合}} \;=\;\frac{\mu_0\,I}{R}\,\frac{\,12-\pi\,}{12\,\pi} \quad\text{(指向入纸面)}. }$$

这就是点 $O$ 处的磁感应强度大小和方向。若只需写矢量大小，便是

$$\left|\,\mathbf{B}_{\text{net}}\right| \;=\;\frac{\mu_0\,I}{R}\,\frac{12-\pi}{12\,\pi}.$$

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小结：本题的关键在于——先分别用熟知公式（无限长直导线、圆弧中心场）求出大小，然后用右手定则仔细判定方向，最后做矢量相加。这样就能得到点 $O$ 的合磁场。