Необратимость матрицы A-xE

سؤال

$A = \begin{pmatrix} 10i & 2-6i \\ -3+9i & 5 - 5i \end{pmatrix} \in M_{2*2}(\mathbb{C})$

Найдите все значения $x \in \mathbb{C}$ при которых $A-xE$ необратима

الفكرة

Deriving the determinant

I’m working through the determinant of $A - xE$ by calculating each term and combining them to find zeros, indicating non-invertibility.

Breaking it down

I expanded $(10i - x)(5 - 5i - x)$ by distributing and combining like terms, including simplifying $i^2 = -1$ , to express the term in terms of $x$ .

Simplifying the equation

I’m piecing together the terms, combining like parts, and simplifying $(2 - 6i)(-3 + 9i)$ . This helps solve the quadratic equation for $x$ .

Breaking down the determinats

I’m working through the quadratic equation by calculating the determinant $D = -8 - 6i$ and finding the square root $\sqrt{-8 - 6i}$ in terms of real numbers $u$ and $v$ .

Clarifying the equation

I’m thinking through the relationship $|a + b i| = \sqrt{100} = 10$ , and connecting it to $u^2 + v^2 = 10$ and $uv = -3$ .

Mapping out possibilities

I explored $u$ and $v$ values to identify two distinct square roots of $\sqrt{-8 - 6i}$ : $1 - 3i$ and $-1 + 3i$ .

Thought for 10 seconds

الإجابة

Чтобы найти все значения $x \in \mathbb{C}$ , при которых матрица $A - xE$ необратима, необходимо решить уравнение $\det(A - xE) = 0$ .

Матрица $A$ дана как:

A = \begin{pmatrix} 10i & 2-6i \\ -3+9i & 5 - 5i \end{pmatrix}

и матрица $E$ — это единичная матрица:

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Тогда матрица $A - xE$ будет:

A - xE = \begin{pmatrix} 10i - x & 2 - 6i \\ -3 + 9i & 5 - 5i - x \end{pmatrix}

Вычислим детерминант этой матрицы:

\det(A - xE) = (10i - x)(5 - 5i - x) - (2 - 6i)(-3 + 9i)

Раскроем скобки и упростим выражение:

(10i - x)(5 - 5i - x) = x^2 - (5 + 5i)x + 50 + 50i

(2 - 6i)(-3 + 9i) = 48 + 36i

Таким образом, детерминант:

\det(A - xE) = x^2 - (5 + 5i)x + 2 + 14i

Приравняем детерминант к нулю:

x^2 - (5 + 5i)x + 2 + 14i = 0

Решим это квадратное уравнение в комплексных числах:

x = \frac{(5 + 5i) \pm \sqrt{(5 + 5i)^2 - 4(2 + 14i)}}{2}

Вычислим дискриминант:

D = (5 + 5i)^2 - 4(2 + 14i) = 50i - 8 - 56i = -8 - 6i

Найдём квадратный корень из $D$ :

\sqrt{-8 - 6i} = 1 - 3i \quad \text{или} \quad -1 + 3i

Подставим обратно:

x = \frac{5 + 5i \pm (1 - 3i)}{2}

Получим два решения:

x_1 = \frac{6 + 2i}{2} = 3 + i

x_2 = \frac{4 + 8i}{2} = 2 + 4i

Ответ: Все такие значения x равны 3 + i и 2 + 4i. Таким образом, x = 3 + i и x = 2 + 4i.

سؤال

الفكرة

الإجابة

مشاركة هذا السؤال والجواب