Нахождение значения q(3)

Überprüfen der Vereinbarkeit

Ich schaue mir an, wie f(g(x)) und g(f(x)) bei Zusammensetzung grad 4 erreichen, damit f(g(x)) − g(f(x)) grad 2 bleibt.

Balance-Akt

Ich schreibe f(g(x)) und g(f(x)), wobei die x^4- und x^3-Koeffizienten verschwinden müssen, um p(x) quadratic zu halten.

Gleichungssystem lösen, um Bedingungen zu berechnen
Ich stelle fest, dass wenn d nicht gleich null ist, d a = a^2 gilt.

Grenzwerte beachten

Ich überprüfe die Grenzen von d und a, um p(x) quadratisch zu halten, und fange bei p(x) an.

Lösungen extrahieren

Ich finde c und h, indem ich q(0) = 3 und c - h = 4 addiere. Das ergibt c = 3.5 und h = -0.5.

Beziehung verstehen

Ich schaue mir p(x) an, das quadratisch ist und p(0) = 12 spezifiziert. Interessanterweise ist keine spezifische Beziehung zwischen a und b ersichtlich, also gehe ich zur nächsten Frage über.

Analyseren der Bindungen

Ich bin dabei, mehr über die Beziehungen zwischen q(x) und den gegebenen Bedingungen herauszufinden, um q(3) mithilfe der Quadratischen Trinomialsysteme zu finden.

Aufschlussreiche Erkenntnisse gewinnen
Mit den Werten für h und c kann ich jetzt a und b aus den gegebenen Quadratischen Trinomialsystemen ableiten, um q(3) zu berechnen.

Relationen ableiten

Ich arbeite die p(x)-Funktion durch, wobei sich die Werte für a und b klären lassen, um q(3) zu berechnen. Die Gleichung wird zu -11.75 a + 4 - 4 b = 12.

Satz aufstellen

Ich schreibe die Gleichung in Brüche und multipliziere alle Terme mit 4, um -47 a - 16 b = 32 zu erhalten. Woher kommt dieser Teil?

Er(lat)en

Ich schaue mir die Struktur von p(x) an, wobei die x^2- und x-Terme keinen Wert haben sollten. Es bleibt die Gleichung -47 a - 16 b = 32 übrig.

Plätze finden

Ich schaue von -47 a - 16 b = 32 auf q(x) und überlege, welche zusätzlichen Bedingungen für a und b damit zusammenhängen. Integers sind eine mögliche Richtung.

Zusammenhänge erkennen

Ich ziehe integer Lösungen zu 47a + 16b = -32 in Betracht, nutze den erweiterten euklidischen Algorithmus und finde eine allgemeine Lösung: a = 32 + 16k, b = -96 - 47k.

Umformung und Vereinfachung

Ich zeige, wie man q(3) durch die Werte für a und b aus 47a + 16b = -32 in eine neue Form bringt. Beachte die Rechenwege und Konzepte!

Umwandeln und vereinheitlichen

Ich suche nach einer Form von q(3), die sich in Bezug auf a und b ausdrücken lässt, indem ich 18a + 6b mit 47a + 16b in Bezug auf a verknüpfe.

Untersuchen der Fähigkeiten

Ich analysiere die ausdrucksstarke Qualität eines Quadrats, um a und b aus den gegebenen Bedingungen von p(x) und q(x) zu finden, sowie q(3) zu bestimmen.

Grenzen setzen

Ein quadratisches Trinomial kann spezifische Bedingungen auslösen, aber ohne weitere Einschränkungen bleibt q(3) unbestimmt. Auch die Maßeinheit spielt keine Rolle.

Begrenzen und analysieren

Ich schaue mir q(3) an, das aus der Gleichung 47a + 16b = -32 abgeleitet werden kann, um p(x) zu erfüllen.

Beziehungen herstellen

Ich berichte, dass q(3) als (-435 - 6b)/47 dargestellt werden kann, indem b durch a ersetzt wird. Es geht darum, wie Variablen sich gegenseitig beeinflussen.

Zusammenhänge analysieren
Ich betrachte, wie die Geschwindigkeiten von zwei kollidierenden Teilchen ihre Richtung und Geschwindigkeit bei einer völlig elastischen Kollision beeinflussen.

Überlegen und Rückschlüsse ziehen

Ich denke darüber nach, wie das Modellierungsproblem zusätzliche Informationen für die genauen Werte von q(3) liefert. Diese laufen auch darauf hinaus.

Evaluieren und analysieren

Ich schaue mir verschiedene Werte für a und b an, um q(3) zu evaluieren, indem ich die gegebenen Bedingungen anwende.

Lösungen für a und b

Ich schaue mir verschiedene Werte für a und b an, um q(3) zu berechnen. Besonders interessant finde ich, dass q(3) sich einem bestimmten Wert nähert, auch wenn a=0 nicht gültig ist.

Lösen von Gleichungen

Ich bin dabei, q(3) unter Verwendung von a und b aus der Gleichung 47a + 16b = -32 zu bestimmen, wobei es nicht eindeutig bestimmt ist.

Überarbeiten und präzisieren

Ich korrigiere die konstanten Terme in p(x) und finde dass -12a -4b +4 gleich 12 ergibt, indem ich die gegebenen Werte für c und h einsetze.

Fehler korrigieren

Ich merk mir jetzt die Fehler in p(x) und finde, dass -12a -4b = 8 aushandelt, nachdem ich c und h korrekt eingesetzt habe.

Zusammenhänge herstellen

Ich schaue mir an, wie die Bedingungen p(0)=12, q(0)=3 und f(0)-g(0)=4 zusätzliche Informationen bieten, um a und b zu bestimmen.

Gedanken für 47 Sekunden

Дано два квадратных трёхчлена:

f(x) = a x^2 + b x + c

g(x) = d x^2 + e x + h

Из условий задачи следует, что:

p(x) = f(g(x)) - g(f(x)) \quad \text{и} \quad q(x) = f(x) + g(x)

при этом оба выражения также являются квадратными трёхчленами.

Шаг 1: Условия на коэффициенты

Для того чтобы $p(x)$ был квадратным трёхчленом, коэффициенты при $x^4$ и $x^3$ в $f(g(x)) - g(f(x))$ должны обнулиться. Это приводит к следующим уравнениям:

a d^2 = d a^2 \quad \Rightarrow \quad d = a

2 a d e = 2 d a b \quad \Rightarrow \quad e = b

Таким образом, получаем:

g(x) = a x^2 + b x + h

Шаг 2: Выражение $p(x)$ и дополнительные условия

После подстановки $d = a$ и $e = b$ и упрощения получаем:

p(x) = -8a^2 x^2 - 8ab x + (-12a - 4b + 4) = 0

Так как $p(0) = 12$ , получаем:

-12a - 4b + 4 = 12 \quad \Rightarrow \quad 3a + b = -2

Шаг 3: Найдём $q(3)$

Функция $q(x) = f(x) + g(x) = 2a x^2 + 2b x + 3$ . Нам нужно найти $q(3)$ :

q(3) = 2a \cdot 9 + 2b \cdot 3 + 3 = 18a + 6b + 3

Из уравнения $3a + b = -2$ выражаем $b$ :

b = -2 - 3a

Подставляем это в выражение для $q(3)$ :

q(3) = 18a + 6(-2 - 3a) + 3 = 18a - 12 - 18a + 3 = -9

Таким образом, независимо от значений $a$ и $b$ , удовлетворяющих уравнению $3a + b = -2$ , значение $q(3)$ всегда равно $-9$ .

Ответ: $-9$

Нахождение значения q(3)

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