梯形面积计算

要计算梯形的面积，我们需要知道其上底、下底以及高度。已知上底 $a = 3$ cm，下底 $b = 8$ cm，两腰分别为 $c = 3$ cm 和 $d = 4$ cm。由于梯形的两腰长度不同，梯形不是等腰梯形，因此我们需要通过几何方法来求出高度。

步骤 1：建立坐标系

假设梯形的下底 $b = 8$ cm 平行于 $x$-轴，且其两个端点分别位于点 $(0, 0)$ 和 $(8, 0)$。上底 $a = 3$ cm 位于 $y$-轴上方，从点 $(x, h)$ 到点 $(x + 3, h)$，其中 $h$ 是梯形的高度。

步骤 2：利用两腰的长度建立方程

根据两腰的长度，可以建立以下两个方程：

1. 腰 $c = 3$ cm 连接点 $(0, 0)$ 和点 $(x, h)$：

   $$\sqrt{x^2 + h^2} = 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 + h^2 = 9 \quad \text{(方程 1)}$$

2. 腰 $d = 4$ cm 连接点 $(8, 0)$ 和点 $(x + 3, h)$：

   $$\sqrt{(x + 3 - 8)^2 + h^2} = 4 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{(x - 5)^2 + h^2} = 4$$ $$(x - 5)^2 + h^2 = 16 \quad \text{(方程 2)}$$

步骤 3：解方程组求 $x$ 和 $h$

将方程 1 代入方程 2：

$$(x - 5)^2 + h^2 = 16 \\ (x - 5)^2 + (9 - x^2) = 16 \quad \text{(因为 } h^2 = 9 - x^2 \text{)}$$

展开并化简：

$$x^2 - 10x + 25 + 9 - x^2 = 16 \\ -10x + 34 = 16 \\ -10x = -18 \\ x = 1.8 \text{ cm}$$

现在代入 $x = 1.8$ cm 到方程 1 中求 $h$：

$$(1.8)^2 + h^2 = 9 \\ 3.24 + h^2 = 9 \\ h^2 = 5.76 \\ h = \sqrt{5.76} = 2.4 \text{ cm}$$

步骤 4：计算梯形面积

梯形的面积公式为：

$$\text{面积} = \frac{(a + b)}{2} \times h = \frac{(3 + 8)}{2} \times 2.4 = \frac{11}{2} \times 2.4 = 5.5 \times 2.4 = 13.2 \text{ cm}^2$$

最终答案：

该梯形的面积为 13.2 平方厘米。